L.Hospital法则 在第一章中我们已经知道，当分子分母都是无穷小 或都是无穷大时，两个函数之比的极限可能存在也可 能不存在，即使极限存在也不能用“商的极限等于极 限的商”这一运算法则。这种极限称为未定式「，0 0o∞ 本节我们就利用Cauchy中值定理来建立求未定式 极限的L.Hospital法则，利用这一法则，可以直接求 和0 0 这两种基本未定式的极限，也可间接求出 00 0.00,00-00,0°，00°，10 等其它类型的未定式的极限
L.Hospital法则 在第一章中我们已经知道，当分子分母都是无穷小 或都是无穷大时，两个函数之比的极限可能存在也可 能不存在，即使极限存在也不能用“商的极限等于极 限的商”这一运算法则。这种极限称为未定式 , 0 0 本节我们就利用Cauchy中值定理来建立求未定式 极限的L.Hospital法则，利用这一法则，可以直接求 和0 0 这两种基本未定式的极限，也可间接求出 0, − ,0 , ,1 0 0 等其它类型的未定式的极限
一。 型及” 型未定式解法：洛必达法则 0 定义如果当r→a(或x→∞)时，两个函数f(x) 与F(x)都趋于零或都趋于无穷大，那末极限 lim 称为或”型未定式 xa F(x) 00 x-→00 tanx In sin ax 例如， lim lim x→0 x0 Insin bx
一 、型 及 型未定式解法:洛必达法则 0 0 定义 . 0 0 ( ) ( ) lim ( ) , ( ) , ( ) ( ) 称 为 或 型未定式 与 都趋于零或都趋于无穷大 那末极限 如果当 或 时 两个函数 → → → → F x f x F x x a x f x x x a 例如, , tan lim 0 x x x→ , lnsin lnsin lim 0 bx ax x→ ) 0 0 ( ( )
定理设（①）当x→0时，函数f(x)及F(x)都趋于零 (2)在a点的某领域内点a本身可以除外，f'(x) 及F'(x)都存在且F'(x)≠0； (③)1im四存在（或为无穷大； aF(x) 那未imy lim f'(x) xa F(x) x→aF'(x) 定义这种在一定条件下通过分子分母分别求导再 求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则： 当→o时，以及x→4，x→o时，该法则仍然成立
. ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim ( ); ( ) ( ) (3) lim ( ) ( ) 0; (2) ( ), ( ) (1) 0 , ( ) ( ) ; F x f x F x f x F x f x F x F x a a f x x f x F x x a x a x a = → → → → 那 末 存 在 或为无穷大 及 都存在且 在 点的某领域内点 本身可以除外 定理 设 当 时 函 数 及 都趋于零 定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再 求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则. 当x → 时,以及x → a, x → 时,该法则仍然成立
证 定义辅助函数 F(x), x≠a F()= 10, x=a 在°(a,6)内任取一点x,在以a与x为端点的区间上， f(x),F(x)满足柯西中值定理的条件， 则有 f()_f(x)-f(@f'(5) F(x)F(x)-F(a)F'(5) (5在x与a之间) 当x→a时，5→a,im9）=4img=4 a F(x) 5→aF'(5) .limf)=lim(=4. x→aF(x)5aF'(5)
证 定义辅助函数 , 0, ( ), ( ) 1 = = x a f x x a f x , 0, ( ), ( ) 1 = = x a F x x a F x ( , ) , 0 在U a 内任取一点 x 在以 a 与 x 为端点的区间上, ( ), ( ) , f 1 x F1 x 满足柯西中值定理的条件 则有 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) F x F a f x f a F x f x − − = ( ) ( ) F f = (在x与a之间) 当x → a时, → a, , ( ) ( ) lim A F x f x x a = → , ( ) ( ) lim A F f a = → . ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim A F f F x f x x a a = = → →
注①定理的条件：分子分母都是无穷小；分子分母 都可导，且分母的导数不等于0；导数之比的 极限存在或为00 ②定理的结论：函数之比的极限等于导数之比的 极限 ③若im '还是未定式，且f'(x,g'(x)满足 x→g'(x) 定理中对f(x),g(x)所要求的条件，则可继续 使用法则，直到不再是未定式为止 imf(）=lim f'(x) =lim f"(x) x→g(X) xx0 g(x) →g"(x)
注 ①定理的条件：分子分母都是无穷小；分子分母 都可导，且分母的导数不等于0；导数之比的 极限存在或为∞ ②定理的结论：函数之比的极限等于导数之比的 极限 ③ 使用法则，直到不再是未定式为止 定理中对 所要求的条件，则可继续 若 还是未定式，且 满足 ( ), ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) lim 0 f x g x f x g x g x f x x x → ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim 0 0 g x f x g x f x x x x x = → → = = → ( ) ( ) lim 0 g x f x x x