群论中常用的概念或术语 定义1.5 (1)若群G是有穷集,则称G是有限群,否则称为无限群。 群G的基数称为群G的阶,有限群G的阶记作|G|。 (2)只含单位元的群称为平凡群。 (3)若群G中的二元运算是可交换的,则称G为交换群或阿贝尔 (Abe)群
群论中常用的概念或术语 定义11.5 (1)若群G是有穷集,则称G是有限群，否则称为无限群。 群G的基数称为群G的阶，有限群G的阶记作|G|。 (2)只含单位元的群称为平凡群。 (3)若群G中的二元运算是可交换的，则称G为交换群或阿贝尔 (Abel)群
例 口<Z,+>,<R,+>是无限群。 口<zn,⊕>是有限群,也是n阶群。 口 Klein四元群是4阶群。 口<{0},+>是平凡群。 口上述所有的群都是交换群。 口但n阶(n≥2)实可逆矩阵的集合关于矩阵乘法构成的群是 非交换群,因为矩阵乘法不满足交换律
例 ❑ <Z,+>,<R,+>是无限群。 ❑ <Zn ,>是有限群，也是n阶群。 ❑ Klein四元群是4阶群。 ❑ <{0},+>是平凡群。 ❑ 上述所有的群都是交换群。 ❑ 但n阶(n≥2)实可逆矩阵的集合关于矩阵乘法构成的群是 非交换群，因为矩阵乘法不满足交换律
群中元素的n次 定义11.6设G是群,a∈G,n∈Z,则a的n次幂 n=0 n>0 (a)a"n<0,n=-m 口与半群和独异点不同的是:群中元素可以定义负整数次幂。 口在<Z3,⊕>中有 2-3=(2-1)3=13=11⊕1=0 口在<Z,+>中有 35=(3-1)5=(-3)5=(-3)+(-3)+(-3)+(-3)+(-3)=-15
群中元素的n次幂 定义11.6 设G是群，a∈G，n∈Z，则a的n次幂 ❑与半群和独异点不同的是：群中元素可以定义负整数次幂。 ❑在<Z3 ,>中有 2 -3＝(2-1) 3＝1 3＝111＝0 ❑在<Z,+>中有 3 -5＝(3-1) 5＝(-3)5＝(-3)+(-3)+(-3)+(-3)+(-3)＝-15 = − = = − − a a n n m a a n e n a m n n ( ) 0, 0 0 1 1
群中元素的阶 定义11.7设G是群,a∈G,使得等式 成立的最小正整数k称为a的阶,记作|a=k,这时也称a为 k阶元。若不存在这样的正整数k,则称a为无限阶元。 举例 口在<z,⊕》中,2和4是3阶元,3是2阶元,而1和5是6阶元,0 是1阶元。 口在<Z,+>中,0是1阶元,其它的整数都是无限阶元。 口在 Klein四元群中,e为1阶元,其它元素都是2阶元
群中元素的阶 定义11.7 设G是群，a∈G，使得等式 a k＝e 成立的最小正整数k称为a的阶，记作|a|＝k，这时也称a为 k阶元。若不存在这样的正整数k,则称a为无限阶元。 举例 ❑ 在<Z6 ,>中，2和4是3阶元，3是2阶元，而1和5是6阶元，0 是1阶元。 ❑ 在<Z,+>中，0是1阶元，其它的整数都是无限阶元。 ❑ 在Klein四元群中，e为1阶元，其它元素都是2阶元
群的性质一群的界运规则 定理11.1设G为群,则G中的幂运算满足 (1)a∈G,(a1)-1=a。 (2)a,b∈G,(ab)-1=b-1a (3)a∈G,a"a=a,n,m∈Z。 (4)a∈G,(a?)m=am,n,m∈Z。 (5)若G为交换群,则(ab)n=a"b°。 分析: (1)和(2)可以根据定义证明。 (3)、(4)、(5)中的等式,先利用数学归纳法对于自然数n和m 证出相应的结果,然后讨论n或m为负数的情况
群的性质—群的幂运算规则 定理11.1 设G为群,则G中的幂运算满足： (1) a∈G,(a-1) -1＝a。 (2) a,b∈G，(ab)-1＝b -1a -1 。 (3) a∈G，a na m＝a n+m ，n,m∈Z。 (4) a∈G，(an) m＝a nm ，n,m∈Z。 (5) 若G为交换群，则(ab)n＝a nb n 。 分析： (1)和(2)可以根据定义证明。 (3)、(4)、(5)中的等式,先利用数学归纳法对于自然数n和m 证出相应的结果，然后讨论n或m为负数的情况