包义11,2说明 任取<a,b>,<c,d>,<u,>∈S (<a,b>·<c,d)u,v> <a°c,b*d>●<u,V =<(a°c)%u,(b*d)*y> <a°c°u,b*d*y <a,b>·(<c,d·u,v> =<a,b>●(<c°u,d*v>) =<a°(c%u),b*(d*) <a°c°u,b*d*
定义11.2说明 任取<a,b>,<c,d>,<u,v>S (<a,b>•<c,d>)•<u,v> = <ac,b*d>•<u,v> = <(ac)u,(b*d)*v> = <acu,b*d*v> <a,b>•(<c,d>•<u,v>) = <a,b>•(<c u,d*v>) = <a(cu),b*(d*v)> = <acu,b*d*v>
11.2群的定义与性质 口群是特殊的半群和独异点。 口群论中常用的概念或术语: 有限群、无限群、平凡群、交换群、元素的幂和阶。 口群的运算规则
11.2 群的定义与性质 ❑ 群是特殊的半群和独异点。 ❑ 群论中常用的概念或术语： 有限群、无限群、平凡群、交换群、元素的幂和阶。 ❑ 群的运算规则
群的定义 定义11.4设<G,°是代数系统,°为二元运算。如果运算是可结 合的,存在单位元e∈G,并且对G中的任何元素x都有x1∈G,则 称G为群( group) 举例(考虑例11.1), (1)<Z,+>,<Q,+>,<R,+>都是群,而<2,+>和<N,+>不是群。 (2)<M(R),+>是群,而<M(R),>不是群。因为并非所有的n阶实矩 阵都有逆阵。 (3)<P(B),⊕>是群,因为对任何B的子集A,A的逆元就是A自身。 (4)<Zn是群。0是Z中的单位元。x∈Z,若x=0,x的逆元就 是0,若x≠0,则nx是x的逆元。 (5)<A,,当|A|≥2时不是群
群的定义 定义11.4 设<G,>是代数系统，为二元运算。如果运算是可结 合的，存在单位元e∈G，并且对G中的任何元素x都有x -1∈G,则 称G为群（group）。 举例（考虑例11.1）， (1)<Z,+>,<Q,+>,<R,+>都是群,而<Z+,+>和<N,+>不是群。 (2)<Mn (R),+>是群,而<Mn (R),·>不是群。因为并非所有的n阶实矩 阵都有逆阵。 (3)<P(B),>是群，因为对任何B的子集A，A的逆元就是A自身。 (4)<Zn ,>是群。0是Zn中的单位元。x∈Zn，若x＝0，x的逆元就 是0，若x≠0，则n-x是x的逆元。 (5)<AA , >，当|A|≥2时不是群
Kein四元群 设G={a,b,c,d},●为G上的二元运算,见下表。 G是一个群 b e为G中的单位元; bc运算是可结合的 b运算是可交换的 bb c e a G中任何元素的逆元就是它自己; c。bae在a,b,c三个元素中任何两个元素 运算的结果都等于另一个元素。 称这个群为 Klein四元群,简称四元群
Klein四元群 设G＝{a,b,c,d}，•为G上的二元运算，见下表。 • e a b c e e a b c a a e c b b b c e a c c b a e G是一个群： e为G中的单位元； 运算是可结合的； 运算是可交换的； G中任何元素的逆元就是它自己； 在a,b,c三个元素中,任何两个元素 运算的结果都等于另一个元素。 称这个群为Klein四元群,简称四元群
群的直积 设<G1,°,<G2,*是群,在G1xG2上定义二元运算·如下: y<a,b>,<c,d>∈G1×Q2,<a,b>·c,d>=<a°c,b*d 称<G1×G2,·是G1与G2的直积 上一节已经证明:<G1xG2,是独异点, 可以证明对任意的<a,b>∈G1xQ2,<a1,b1>是<a,b>的逆元, 因此G1×G2关于·运算构成一个群
群的直积 设<G1, >, <G2, *>是群，在G1G2上定义二元运算•如下： <a,b>,<c,d>∈G1×G2 , <a,b>•<c,d>＝<ac,b*d> 称<G1×G2,•>是G1与G2的直积。 上一节已经证明：<G1G2,•> 是独异点， 可以证明对任意的<a,b>∈G1G2 ,<a-1,b-1> 是<a,b>的逆元， 因此G1×G2关于•运算构成一个群