定理11,1的证明 (1)a∈G,(a-1)-1=a (a-1)-1是a1的逆元,a也是a1的逆元。 (或者:a1是a的逆元,a也是a1的逆元。) 根据逆元的唯一性,(a1)-1=a (2)a,b∈G,(ab)-1=b-1a-1。 (b-1a1)(ab)=b1(a-1a)b=b-1b=e (ab)(b-1a)=a(b-1)a1=aa1=e 故b1a-1是ab的逆元。 根据逆元的唯一性等式得证
定理11.1的证明 (1) a∈G,(a-1) -1＝a。 (a-1) -1是a -1的逆元，a也是a -1的逆元。 （或者：a -1是a的逆元，a也是a -1的逆元。） 根据逆元的唯一性， (a-1) -1＝a。 (2) a,b∈G，(ab)-1＝b -1a -1 。 (b-1a -1)(ab)＝b -1(a-1a)b＝b -1b＝e (ab)(b-1a -1)＝a(bb-1)a-1＝aa-1＝e 故 b -1a -1是 ab 的逆元。 根据逆元的唯一性等式得证
(3)a∈G,a"a=am,n,m∈Z。 先考虑n,m都是自然数的情况。任意给定n,对m进行归纳。 m=0,有aa=ae=a=a1成立。 假设对一切m∈N有aa=a成立,则有 a"+1=a(ama=anama=atma=antm+1 由归纳法等式得证。 下面考虑存在负整数次幂的情况。 设n<0,m≥0,令n=一t,t∈z,则 a ahtn t≥m a"am=a-t (a-1)ta a t<n 对于n≥0,m<0以及n<0,m<0的情况同理可证
定理11.1的证明 (3) a∈G，a na m＝a n+m ，n,m∈Z。 先考虑n,m都是自然数的情况。任意给定n，对m进行归纳。 m＝0，有a na 0＝a ne＝a n＝a n+0成立。 假设对一切m∈N有a na m＝a n+m成立，则有 a na m+1＝a n(ama)＝(ana m)a＝a n+ma＝a n+m+1 由归纳法等式得证。 下面考虑存在负整数次幂的情况。 设n<0，m≥0，令n＝-t，t∈Z+，则 a na m＝a -ta m＝(a-1) ta m＝ a -(t-m)＝a m-t＝a n+m t≥m a m-t＝a n+m t<m 对于n≥0,m<0以及n<0,m<0的情况同理可证
定理11,1的证明 (5)若G为交换群,则(ab)n=a"b°。 当n为自然数时,对n进行归纳。 n=0,有(ab)0=e=ee=a%b° 假设(ab)k=abk,则有 (ab)k+1 =(ab)k(ab)=(akk)ab =ak(bka) b =ak(abk)b =(aka)(bk)b =(ak+1)(bk+1) 由归纳法等式得证。 设n0,令n=-m,m>0,则 (ab)n=(ba)n=(ba) -m=((ba-1)m =(a-1b-1)m (a-1)(b-1)m=amb m=anbn
定理11.1的证明 (5) 若G为交换群，则(ab)n＝a nb n 。 当n为自然数时，对n进行归纳。 (ab)n ＝(ba)n ＝(ba)-m ＝((ba)-1) m ＝(a-1b -1) m ＝(a-1) m(b-1) m ＝a -mb -m＝a nb n n＝0，有 (ab)0 ＝e ＝ee ＝a 0b 0 。 假设(ab)k＝a kb k，则有 (ab)k+1 ＝(ab)k(ab) ＝(akb k)ab ＝a k(bka)b ＝a k(abk)b ＝(aka)(bk)b ＝(ak+1)(bk+1) 由归纳法等式得证。 设n<0，令n＝-m，m>0，则
定理11.1说明 口定理11.1(2)中的结果可以推广到有限多个元素的情况,即 口注意上述定理中的最后一个等式只对交换群成立。 口如果G是非交换群,那么只有 (mb)=(abmb)…(ab
定理11.1说明 ❑ 定理11.1(2)中的结果可以推广到有限多个元素的情况,即 ( ) 1 1 1 1 1 1 1 2 − − − − − a a a = a a a r r r ( ) ( )( ) ( ) n个 n ab = ab ab ab ❑ 注意上述定理中的最后一个等式只对交换群成立。 ❑ 如果G是非交换群,那么只有
群方程存在唯一解 定理11.2G为群,∨a,b∈G,方程ax=b和ya=b在G中有解且仅 有唯一解。 证明:先证a1b是方程ax=b的解。 将a1b代入方程左边的x得 a(a-b)=(aa-1b=eb =b 所以a-1b是该方程的解 下面证明唯一性。 假设c是方程ax=b的解,必有ac=b,从而有 c=ec =(a-lac =aac)=a-1b 同理可证ba1是方程ya=b的唯一解
群方程存在唯一解 定理11.2 G为群，a,b∈G，方程ax＝b和ya＝b在G中有解且仅 有唯一解。 证明：先证a -1b是方程ax＝b的解。 将a -1b代入方程左边的x得 a(a-1b)＝(aa-1)b＝eb ＝b 所以a -1b是该方程的解。 下面证明唯一性。 假设c是方程ax＝b的解，必有ac＝b，从而有 c＝ec ＝(a-1a)c ＝a -1(ac) ＝a -1b 同理可证ba-1是方程ya＝b的唯一解