延安大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（习题与答案）第二章 随机变量及其分布

P=b=C/1)74)0k 5八(5 x0123456 \PXi 026210.393202458008190.01540.00150.0001 6设随机变量X服从二项分布B(n,p)当x为何值时,概率 P(X=x)取得最大值。 解P(X=x)=C;pq 1-x PX=x =1(+1)n-x =x xq 当x<(n+1)时,P(X=x)>P(x=x-1 当x=(n+1)时,PX=x)=P(X=x-); 当x>(n+1时,P(X=x)<P(Xx=x-1

11 X 0 1 2 3 4 5 6   k k k P Y k C                6 6 5 4 5 1   0.2621 0.3932 0.2458 0.0819 0.0154 0.0015 0.0001 i P x 6设随机变量X 服从二项分布 Bn, p，当 x 为何值时，概率 PX  x取得最大值。 解     1  P X x P X x   xq n p x   1 1 当 x  n1p时， PX  x PX  x 1; 当 时， PX  x PX  x1;   x x n-x P X = x = C p q n x  n1p 当 x  n1p时， PX  x PX  x 1;

若(n+1)p=x是整数,则代(X=x)=P(X=x-1为最大值; 若(+)不是整数,则取其整数部分x=[(n+1)]此时 P(X=x)最大。 7.进行8次独立射击,设每次射击击中目标的概率为0.3, (1)击中几次的可能性最大?并求相应的概率; (2)求至少击中2次的概率 解击中次数X服从B(8,03):P(X=k)=C(.3(.6)k 经计算,知 P(X=2)=C20.32.0,7°=0.2965为最大值 P(X≥2)=1-P(X=0)-P(X=1)=0747 12

12 n1p    1 ∴若 是整数，则P X  x0  P X  x0  为最大值； 最大。 若 不是整数，则取其整数部分   n1 p  x0  1 , x0  n  p 此时 解  2 0.3 0.7 0.2965 . 2 2 6 P X   C8    为最大值 PX  2  1 PX  0 PX  1  0.7447 7. 进行8次独立射击，设每次射击击中目标的概率为0.3， ⑴ 击中几次的可能性最大？并求相应的概率； ⑵ 求至少击中2次的概率。 击中次数X服从 B8,0.3,       k k k P X k C     8 8 0.3 0.6 经计算，知

8设随机变量X服从泊松分布P(4),当m为何值时,概率 P(X=m)取得最大值。 P(x=m)=rea P(=m)=m 解P m P(X=m-1 n e r (m-1)! 当m<时,P(X=m)>P(X=m-1); 当m=元时,P(X=m)=P(X=m-1); 当m>元时,P(X=m)<P(X=m-1 若是整数,则当m=元或m=元-1时,P(X=m)最大; 若不是整数则当m=[]时,P(X=m最大

13 8 设随机变量X 服从泊松分布 P() ，当m为何值时，概率 P(X  m)取得最大值。 解 ( 1) ( )    P X m P X m          e m e m m m ( 1)! ! 1 m   当 m   时，P(X m)  P(X m1); 当m   时，P(X m)  P(X m1); 当m   时，P(X m) P(X m1). ∴若  是整数，则当 m   或 m   1 时， 最大； 若 不是整数，则当m  [ ]时， 最大。       e m P x m m !

9.一本书中每页印刷错误的个数X服从泊松分布P(0.2) 写出X的概率分布,并求一页上印刷错误不多于1个的概率。 解X的概率分布为:P(X=k) 0.2 0.2 e k! 查表求 P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)=0.8187+0.1638=0.9825

14 9. 解 一本书中每页印刷错误的个数X 服从泊松分布 写出X 的概率分布，并求一页上印刷错误不多于1个的概率。   0.2 ! 0.2    e k P X k k PX  1  PX  0 PX  1  0.8187  0.1638  0.9825 X的概率分布为： 查表求

10.在四位数学用表中,小数点后第四位数字是根据“四舍五入” 原则得到的,由此而产生的随机误差X服从怎样的概率分布? 解X~U(-5×105,5×10-5) 所以X的概率密度为 fx) 10000≤5×10 其它 15

15 10. 在四位数学用表中，小数点后第四位数字是根据“四舍五入” 原则得到的，由此而产生的随机误差 服从怎样的概率分布？ 解 ~ ( 5 10 ,5 10 ) 5 5 X U              0, 其它 10000, 5 10 5 x f x 所以X 的概率密度为