延安大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（习题与答案）第二章 随机变量及其分布

§2.12二维随机变量函数的分布 1.和的分布 离散型P2(a)=(z=z)=∑∑1x=x,=y)=∑∑x, 对于一切的x+y=zk 或n2(x)=∑p(x,x1-x)=∑a4-x1,y) 若X、Y独立n(a)=∑Dx(4-x)=∑2(-x加) 连续型F(Ps)=Px+Ysx)=厂」f(x,p 2()=(x,z-x)=」(-y,y 若X、Y独立f()=C)(-x==p地 2.平方和的分布F(z)=f(x,y)th 3.(独立的随机变量)最大值与最小值的分布 Fn、(2)=F(x,2Fm1()2=1-I-F() i=1

6 §2.12 二维随机变量函数的分布 1. 和的分布 dx f x ydy z x        , 2. 平方和的分布 3.（独立的随机变量）最大值与最小值的分布 ( ) ( , ) 2 2     x y z FZ z f x y dxdy ( ) ( ), 1 max F z F z n i  i   ( ) 1 [1 ( )] 1 min F z F z n i  i     f z Z 离散型 F z PZ z PX Y z Z      对于一切的 i j k x  y  z 连续型 或 若X、Y 独立 若X、Y 独立 f z Z f xf z xdx f z yf  ydy  X Y  X Y         f x z xdx f z y ydy        ,   

(二)课后习题略解 2一批零件中有9个合格品与3个废品。安装机器时从中任取 1个。如果每次取出的废品不再放回去,求在取得合格品以 前已取出的废品数的概率分布。 解设在取得合格品以前已取出的废品数为X,则X的所有可 能取的值为:0、1、2、3,P(x=0)=3 P(X=1) 99 P(X=2) 1299 41144 41110220 121 X=3)= 41110 220 034 2 3 P(x;) 44 220 220

7 （二）课后习题略解 2 一批零件中有9个合格品与3个废品。安装机器时从中任取 1个。如果每次取出的废品不再放回去，求在取得合格品以 前已取出的废品数的概率分布。 解 设在取得合格品以前已取出的废品数为X，则X的所有可 0、1、2、3,   4 3 P X  0    44 9 11 9 4 1 P X  1      220 9 10 9 11 2 4 1 P X  2       220 1 1 10 1 11 2 4 1 P X  3      X ( ) i P x 0 1 4 3 44 9 220 1 2 3 220 9 能取的值为：

3.对一目标射击,直至击中为止。如果每次射击命中率为p, 求射击次数的概率分布及其分布函数。 解设随机变量X表示射击次数,则X服从几何分布。 P(X=m)=p(1-p)"m=1,2 X的概率分布表如下:(P+q=1) 2 3 P(X=m) pq 2 pq pa 显然,当x<1时,F(x)=P(X≤x)=0;当x≥1时, F(x)=P(X≤x)=∑p pll-g' 1-(1-p) 其中,区x]为x的整数部分

8 3. 对一目标射击，直至击中为止。如果每次射击命中率为 p， 求射击次数的概率分布及其分布函数。 X P(X  m) n1 pq 1 2 n p pq    3  2 pq 解 设随机变量X表示射击次数， 则X 服从几何分布。 P(X  m)  p(1 p)m1 m  1,2 ∴X的概率分布表如下： 显然，当 x  1 时，F(x)  P(X  x)  0; 当 x  1 时， F(x)  P(X  x)    [ ] 1 1 x m m pq   q p q x    1 1 [ ] [ ] 1 x   q [ ] 1 (1 ) x    p ( p  q  1) 其中，[x]为 x 的整数部分

4自动生产线在调整以后出现废品的概率为p(0<p<1), 生产过程中出现废品时立即重新调整, 求在两次调整之间生产的合格品数的概率分布 解设随机变量X表示自动生产线 在两次调整之间生产的合格品数, 则X的所以可能取值:0,1,2,, P(X=n)=(1-p)"·p X 0 n Plx P pq pq

9 4 自动生产线在调整以后出现废品的概率为 p (0<p<1), 生产过程中出现废品时立即重新调整, 求在两次调整之间生产的合格品数的概率分布. 解 : 设随机变量X表示自动生产线 在两次调整之间生产的合格品数, 则X的所以可能取值:0,1,2,…,n,…. ( ) (1 )  . n P X = n = - p p X ( ) P xi n pq 0 1 n p pq    2  2 pq

520个产品中有4个次品,抽取6个产品, (1)不放回抽样,求样品中次品数的概率分布; (2)放回抽样,求样品中次品数的概率分布。 解(1)不放回抽样,设随机变量X表示样品中次品数 则X的所有可能取的值为:0、1、2、3、4, 6-i P(X=i)=-010 20 0 2 4 P(x)006610.45080.281710.0578003 (2)放回抽样,设随机变量Y表示样品中次品数, 则X的所有可能取的值为:0、1、2、3、4、5、6

10 5 20个产品中有4个次品，抽取6个产品， 解 ⑴ 不放回抽样，设随机变量X 表示样品中次品数， 0、1、2、3、4,   6 20 6 4 16 C C C P X i i i   （1）不放回抽样，求样品中次品数的概率分布； （2）放回抽样，求样品中次品数的概率分布。 则X的所有可能取的值为：  i P x 0.2066 0.4508 0.2817 0.0578 0.0031 X 0 1 2 3 4 ⑵ 放回抽样，设随机变量Y 表示样品中次品数， 则X的所有可能取的值为：0、1、2、3、4、5、6