习题四 1.下列给出的数列,哪些是随机变量的分布律,并说明理由。 (1)P仿=012,34,5; pi i=0,1,2,3; 6 P 3,4.5; (4)p i+1 ,i=1,2,3,4,5。 解要说明题中给出的数列,是否是随机变量的分布律,只要验证p,是否满 足下列二个条件:其一条件为p20.1=12,…,其二条件为∑p,=1 依据上面的说明可得(1)中的数列为随机变量的分布律;(2)中的数列不 是随机变量的分布律,因为p 5-94 66-0;(3)中的数列为随机变量的分布 律:(4)中的数列不是随机变量的分布律,这是因为∑=29=1。 2.试确定常数c,使P(x=)=,(=01234)成为某个随机变量ⅹ的分布律, 并求:P(X≤2) <X 解要使成为某个随机变量的分布律,必须有∑=1,由此解得c=16 (2)P(X≤2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2) (3)叫|<x<2|=P(x=1)+P(x=2) 16/1 4)31 3.一口袋中有6个球,在这6个球上分别标有-3,-3,1,1,1,2这样的 数字。从这袋中任取一球,设各个球被取到的可能性相同,求取得的球上标明
习题四 1. 下列给出的数列，哪些是随机变量的分布律，并说明理由。 （1） , 0,1,2,3,4,5 15 = i = i pi ； （2） ( ) , 0,1,2,3 6 5 2 = − = i i pi ； （3） , 2,3,4,5 4 1 pi = i = ； （4） , 1,2,3,4,5 25 1 = + = i i pi 。 解 要说明题中给出的数列，是否是随机变量的分布律，只要验证 i p 是否满 足下列二个条件：其一条件为 pi 0,i =1,2, ，其二条件为 =1 i pi 。 依据上面的说明可得（1）中的数列为随机变量的分布律；（2）中的数列不 是随机变量的分布律，因为 0 6 4 6 5 9 3 = − − p = ；（3）中的数列为随机变量的分布 律；（4）中的数列不是随机变量的分布律，这是因为 = = 5 1 1 25 20 i pi 。 2. 试确定常数 c ，使 ( ) ,( 0,1,2,3,4) 2 = = i = c P X i i 成为某个随机变量 X 的分布律， 并求： P(X 2) ； 2 5 2 1 P X 。 解 要使 i c 2 成为某个随机变量的分布律，必须有 1 2 4 0 = i= i c ，由此解得 31 16 c = ； （2） P(X 2) = P(X = 0)+ P(X =1)+ P(X = 2) 31 28 4 1 2 1 1 31 16 = = + + （3） ( 1) ( 2) 2 5 2 1 = = + = P X P X P X 31 12 4 1 2 1 31 16 = = + 。 3. 一口袋中有 6 个球，在这 6 个球上分别标有-3，-3，1，1，1，2 这样的 数字。从这袋中任取一球，设各个球被取到的可能性相同，求取得的球上标明
的数字X的分布律与分布函数 解ⅹ可能取的值为3,1,2,且P(x=-)=1,P(x=1)=1,P(x=2)=2,即x 的分布律为 X|-312 概率 X的分布函数 0 F(x)=P(X≤x) 3≤x<1 1≤x<2 4.一袋中有5个乒乓球,编号分别为1,2,3,4,5,从中随机地取3个, 以Ⅹ表示取出的3个球中最大号码,写出X的分布律和分布函数 解依题意X可能取到的值为3,4,5,事件{x=3表示随机取出的3个球 的最大号码为3,则另两个球的只能为1号,2号,即x=33=10:事件{x=4 表示随机取出的3个球的最大号码为4,因此另外2个球可在1、2、3号球中任 选,此时P(x=4) 6 5)=i:同理可得x==(= X的分布律为 X345 概率 X的分布函数为 F(x) 3≤x<4
的数字 X 的分布律与分布函数。 解 X 可能取的值为-3，1，2，且 ( ) ( ) ( ) 6 1 , 2 2 1 , 1 3 1 P X = −3 = P X = = P X = = ，即 X 的分布律为 X -3 1 2 概率 3 1 2 1 6 1 X 的分布函数 0 x −3 F(x) = P(X x) = 3 1 −3 x 1 6 5 1 x 2 1 x 2 4. 一袋中有 5 个乒乓球，编号分别为 1，2，3，4，5，从中随机地取 3 个， 以 X 表示取出的 3 个球中最大号码，写出 X 的分布律和分布函数。 解 依题意 X 可能取到的值为 3，4，5，事件 X = 3 表示随机取出的 3 个球 的最大号码为 3，则另两个球的只能为 1 号，2 号，即 ( ) 10 1 3 5 1 3 = P X = = ；事件 X = 4 表示随机取出的 3 个球的最大号码为 4，因此另外 2 个球可在 1、2、3 号球中任 选，此时 ( ) 10 3 3 5 2 3 1 4 = P X = = ；同理可得 ( ) 10 6 3 5 2 4 1 5 = P X = = 。 X 的分布律为 X 3 4 5 概率 10 1 10 3 10 6 X 的分布函数为 0 x 3 F(x) = 10 1 3 x 4
4≤x<5 10 5.在相同条件下独立地进行5次射击,每次射击时击中目标的概率为06 求击中目标的次数X的分布律 解依题意X服从参数n=5,p=06的二项分布,因此,其分布律 604,k=0,1,…,5 具体计算后可得 0 概率 16 243 31256256256256253125 6.从一批含有10件正品及3件次品的产品中一件一件的抽取。设每次抽取 时,各件产品被抽到的可能性相等。在下列三种情形下,分别求出直到取得正 品为止所需次数ⅹ的分布律。 (1)每次取出的产品立即放回这批产品中再取下一件产品; (2)每次取出的产品都不放回这批产品中; (3)每次取出一件产品后总是放回一件正品 解(1)设事件A,=12,…表示第次抽到的产品为正品,依题意,A,…,A 相互独立,且P(4)=0,;=12,…而 P(x=8)=4)=P)-P(x-14)=(等)1=12 即ⅹ服从参数p=10的几何分布 (2)由于每次取出的产品不再放回,因此,X可能取到的值为1,2,3,4, P(x=12=10,P(x=2)=3×10=5 P(X=3) 3×2×105 3×2×1×10 13×12×11143 13×12×11×10286 X的分布律为
10 4 4 x 5 1 x 5 5. 在相同条件下独立地进行 5 次射击，每次射击时击中目标的概率为 0.6， 求击中目标的次数 X 的分布律。 解 依题意 X 服从参数 n = 5, p = 0.6 的二项分布，因此，其分布律 ( ) 0.6 0.4 , 0,1, ,5 5 5 = = = − k k P X k k k ， 具体计算后可得 X 0 1 2 3 4 5 概率 3125 32 625 48 625 144 625 216 625 162 3125 243 6. 从一批含有 10 件正品及 3 件次品的产品中一件一件的抽取。设每次抽取 时，各件产品被抽到的可能性相等。在下列三种情形下，分别求出直到取得正 品为止所需次数 X 的分布律。 （1）每次取出的产品立即放回这批产品中再取下一件产品； （2）每次取出的产品都不放回这批产品中； （3）每次取出一件产品后总是放回一件正品。 解 （1）设事件 Ai ,i =1,2, 表示第 i 次抽到的产品为正品，依题意， A1 , , An , 相互独立，且 ( ) , 1,2, 13 10 P Ai = i = 而 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , 1,2, 13 10 13 3 1 1 1 1 1 = = = = = − − − P X k P A A A P A P A P A k k k k k k 即 X 服从参数 13 10 p = 的几何分布。 （2）由于每次取出的产品不再放回，因此，X 可能取到的值为 1，2，3，4， ( ) ( ) ( ) ( ) . 286 1 13 12 11 10 3 2 1 10 , 4 143 5 13 12 11 3 2 10 3 , 26 5 13 12 3 10 , 2 13 10 1 = = = = = = = = = = = P X P X P X P X X 的分布律为
2 概率 (3)X可能取到的值为1,2,3,4 P(X=1)=,P(Xx=2) 3×1133 PX=3) 3×2×1272 P(x=4)=3×2x 13×13×132197 13×13×132197 所求X的分布律为 X12 概率11 2197 2197 由于三种抽样方式不同,导致Ⅹ的分布律也不一样,请仔细体会它们的不同 处 7.设随机变量x~B6,p),已知P(x=1)=P(x=5),求p与P(x=2)的值 解由于x~B(6p,因此P(x=6)=60-p)4k=01…6。 由此可算得P(x=1)=6p(-p),P(x=5)=6p(-p 6p(-p)3=6p5(-p) 解得p=2 此时,P(x=2) 1_15 8.掷一枚均匀的硬币4次,设随机变量Ⅹ表示出现国徽的次数,求Ⅹ的分 布函数。 解一枚均匀硬币在每次抛掷中出现国徽的概率为,因此X服从n=4p=1 的二项分布,即 X=k ,k=0,2,3,4 由此可得X的分布函数 <0
X 1 2 3 4 概率 13 10 26 5 143 5 286 1 （3）X 可能取到的值为 1，2，3，4， ( ) ( ) ( ) ( ) . 2197 6 13 13 13 3 2 1 , 4 2197 72 13 13 13 3 2 12 3 , 169 33 13 13 3 11 , 2 13 10 1 = = = = = = = = = = = P X P X P X P X 所求 X 的分布律为 X 1 2 3 4 概率 13 10 169 33 2197 72 2197 6 由于三种抽样方式不同，导致 X 的分布律也不一样，请仔细体会它们的不同 处。 7. 设随机变量 X ~ B(6, p) ，已知 P(X =1) = P(X = 5) ，求 p 与 P(X = 2) 的值。 解 由于 X ~ B(6, p) ，因此 ( ) (1 ) , 0,1, ,6 6 6 − 6 = = = − p p k k P X k k 。 由此可算得 ( 1) 6 (1 ) , ( 5) 6 (1 ), 5 5 P X = = p − p P X = = p − p 即 6 (1 ) 6 (1 ), 5 5 p − p = p − p 解得 2 1 p = ； 此时， ( ) 64 15 2 1 2! 6 5 2 1 2 1 2 6 2 2 6 2 6 = = = = − P X 。 8. 掷一枚均匀的硬币 4 次，设随机变量 X 表示出现国徽的次数，求 X 的分 布函数。 解 一枚均匀硬币在每次抛掷中出现国徽的概率为 2 1 ，因此 X 服从 2 1 n = 4, p = 的二项分布，即 ( ) , 0,1,2,3,4 2 1 2 4 1 4 = = = − k k P X k k k 由此可得 X 的分布函数 0， x 0
16 F l≤x<2 16 3≤x<4 16 x≥4 9.某商店出售某种物品,根据以往的经验,每月销售量X服从参数A=4的 泊松分布,问在月初进货时,要进多少才能以99%的概率充分满足顾客的需要? 解设至少要进n件物品,由题意n应满足 P(X≤n-1)<0.99P(X≤n)20.9 即P(x≤n-1) P(X≤n)=∑,e-20.99 查泊松分布表可求得n=9。 10.有一汽车站有大量汽车通过,每辆汽车在一天某段时间出事故的概率为 0.0001,在某天该段时间内有1000辆汽车通过,求事故次数不少于2的概率 解设Ⅹ为1000辆汽车中出事故的次数,依题意,X服从n=100p=0001的 二项分布,即x~B(0000,由于n较大,p较小,因此也可以近似地认为X 服从=mp=100001=01的泊松分布,即x~P(0),所求概率为 P(X≥2)=1-P(X=0)-P(X=1 0.1 0.1 0! 1-0.904837-0.090484=0.004679 1].某试验的成功概率为075,失败概率为0.25,若以Ⅹ表示试验者获得首 次成功所进行的试验次数,写出X的分布律。 解设事件4表示第次试验成功,则P(4)=075,且A2…,4n…相互独立。随 机变量ⅹ取k意味着前k-1次试验未成功,但第k次试验成功,因此有
16 1 ， 0 x 1 F(x) = 16 5 ， 1 x 2 16 11 ， 2 x 3 16 15 ， 3 x 4 1， x 4 9. 某商店出售某种物品，根据以往的经验，每月销售量 X 服从参数 = 4 的 泊松分布，问在月初进货时，要进多少才能以 99%的概率充分满足顾客的需要？ 解 设至少要进 n 件物品，由题意 n 应满足 P(X n −1) 0.99, P(X n) 0.99, 即 ( ) 0.99 ! 4 1 1 0 4 − = − = − n k k e k P X n ( ) 0.99 ! 4 0 4 = = − n k k e k P X n 查泊松分布表可求得 n = 9。 10. 有一汽车站有大量汽车通过，每辆汽车在一天某段时间出事故的概率为 0.0001，在某天该段时间内有 1000 辆汽车通过，求事故次数不少于 2 的概率。 解 设 X 为 1000 辆汽车中出事故的次数，依题意，X 服从 n =1000, p = 0.0001 的 二项分布，即 X ~ B(1000,0.0001) ，由于 n 较大， p 较小，因此也可以近似地认为 X 服从 = np =1000 0.0001 = 0.1 的泊松分布，即 X ~ P(0.1) ，所求概率为 ( ) ( ) ( ) 1 0.904837 0.090484 0.004679. 1! 0.1 0! 0.1 1 2 1 0 1 0.1 1 0.1 0 = − − = − − = − = − = − − e e P X P X P X 11. 某试验的成功概率为 0.75，失败概率为 0.25，若以 X 表示试验者获得首 次成功所进行的试验次数，写出 X 的分布律。 解 设事件 Ai 表示第 i 次试验成功，则 P(Ai ) = 0.75 ，且 A1 , , An , 相互独立。随 机变量 X 取 k 意味着前 k −1 次试验未成功，但第 k 次试验成功，因此有