习题五 1.二维随机变量)只能取下列数组中的值:(0(1)(-120),且取这 些组值的概率依次为11.1.5,求这二维随机变量的分布律。 631212 解由题意可得(x,)的联合分布律为 XIY 0 10 12 5 2.一口袋中有四个球,它们依次标有数字12,23。从这袋中任取一球后,不 放回袋中,再从袋中任取一球。设每次取球时,袋中每个球被取到的可能性相 同。以X、Y分别记第一、二次取到的球上标有的数字,求(X,Y)的分布律及P(x=) 解X可能的取值为,2,3,Y可能的取值为12,3,相应的,其概率为 P(X=1y=1)=0,P(X=1Y=2) l×21 =,P(X=1,y=3)= 4×36 4×312 P(X=2,y=1) 2×11 =,P(X=2,y=2)= 2×11 P(X=3y=1)=,P(x=3y=2)=1×x/+36 4×36 2×1=1,P(x=2Y=3)=4×36 4 4x3=,P(X=3,F=3)=0 或写成 XIY 1 6 P(X=y)=P(X=1Y=1)+P(X=2,Y=2)+P(X=3y=3)
习题五 1. 二维随机变量 (X,Y ) 只能取下列数组中的值： ( ) ( ) ,(2,0) 3 1 0,0 , 1,1 , 1, − − ，且取这 些组值的概率依次为 12 5 , 12 1 , 3 1 , 6 1 ，求这二维随机变量的分布律。 解 由题意可得 (X,Y ) 的联合分布律为 X\Y 0 3 1 1 -1 0 12 1 3 1 0 6 1 0 0 2 12 5 0 0 2. 一口袋中有四个球，它们依次标有数字 1,2,2,3 。从这袋中任取一球后，不 放回袋中，再从袋中任取一球。设每次取球时，袋中每个球被取到的可能性相 同。以 X、Y 分别记第一、二次取到的球上标有的数字，求 (X,Y ) 的分布律及 P(X = Y )。 解 X 可能的取值为 1,2,3，Y 可能的取值为 1,2,3 ，相应的，其概率为 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ( 3, 3) 0. 6 1 4 3 1 2 , 3, 2 12 1 3, 1 , 6 1 4 3 2 1 , 2, 3 6 1 4 3 2 1 , 2, 2 6 1 4 3 2 1 2, 1 , 12 1 4 3 1 1 , 1, 3 6 1 4 3 1 2 1, 1 0, 1, 2 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = P X Y P X Y P X Y P X Y P X Y P X Y P X Y P X Y P X Y 或写成 X\Y 1 2 3 1 0 6 1 12 1 2 6 1 6 1 6 1 3 12 1 6 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 6 1 P X =Y = P X =1,Y =1 + P X = 2,Y = 2 + P X = 3,Y = 3 =
3.箱子中装有10件产品,其中2件为次品,每次从箱子中任取一件产品 共取2次,定义随机变量X、Y如下: 0,若第一次取出正品 Y 若第二次取出正品 1,若第一次取出次品; 若第二次取出次品。 分别就下面两种情况求出二维随机变量(x,y)的联合分布律:(1)放回抽样;(2) 不放回抽样。 解(1)在放回抽样时,Ⅹ可能取的值为01,Y可能取的值也为01,且 P(X=0r=0)=8×816 10×1025 P(x=0y=1)=8x2 10×10 P(X=1y=0) 2×84 10×1025 P(X=1Y=1) 2×21 10×1025 或写成 XY0 1 0 16 4 (2)在无放回情形下,X、Y可能取的值也为0或1,但取相应值的概率 与有放回情形下不一样,具体为 P(X=0,y=0) P(x=0y=)=3×2=8 10×9 10×945 10×9-45,P(X=1y=1)=2x1 2×8 或写成 XIY 0 0 4.对于第1题中的二维随机变量(x,Y)的分布,写出关于X及关于Y的边缘 分布律
3. 箱子中装有 10 件产品，其中 2 件为次品，每次从箱子中任取一件产品， 共取 2 次，定义随机变量 X、Y 如下： X= 0， 若第一次取出正品； Y= 0， 若第二次取出正品； 1， 若第一次取出次品； 1， 若第二次取出次品。 分别就下面两种情况求出二维随机变量 (X,Y ) 的联合分布律：（1）放回抽样；（2） 不放回抽样。 解 （1）在放回抽样时，X 可能取的值为 0,1，Y 可能取的值也为 0,1 ，且 ( ) ( ) ( ) ( ) , 25 1 10 10 2 2 , 1, 1 25 4 10 10 2 8 1, 0 , 25 4 10 10 8 2 , 0, 1 25 16 10 10 8 8 0, 0 = = = = = = = = = = = = = = = = P X Y P X Y P X Y P X Y 或写成 X\Y 0 1 0 25 16 25 4 1 25 4 25 1 （2）在无放回情形下，X、Y 可能取的值也为 0 或 1，但取相应值的概率 与有放回情形下不一样，具体为 ( ) ( ) ( ) ( ) , 45 1 10 9 2 1 , 1, 1 45 8 10 9 2 8 1, 0 , 45 8 10 9 8 2 , 0, 1 45 28 10 9 8 7 0, 0 = = = = = = = = = = = = = = = = P X Y P X Y P X Y P X Y 或写成 X\Y 0 1 0 45 28 45 8 1 45 8 45 1 4. 对于第 1 题中的二维随机变量 (X,Y ) 的分布，写出关于 X 及关于 Y 的边缘 分布律
解把第1题中的联合分布律按行相加得X的边缘分布律为 X-102 概率 5 按列相加得Y的边缘分布律为 概率 5.对于第3题中的二维随机变量(x,)的分布律,分别在有放回和无放回两 种情况下,写出关于X及关于Y的边缘分布律。 解在有放回情况下X的边缘分布律为 X01 概率33 Y的边缘分布律为 Y01 概率55 在无放回情况下Ⅹ的边缘分布律为 X01 概率| Y的边缘分布律为 Y 概率 04-5 6.求在D上服从均匀分布的随机变量(x,Y)的密度函数及分布函数,其中D 为x轴、y轴及直线y=2x+1围成的三角形区域 解区域D见图52。 易算得D的面积为s=1×1×1=1,所以(x)的密度函数 4
解 把第 1 题中的联合分布律按行相加得 X 的边缘分布律为 X -1 0 2 概率 12 5 6 1 12 5 按列相加得 Y 的边缘分布律为 Y 0 3 1 1 概率 12 7 12 1 3 1 5. 对于第 3 题中的二维随机变量 (X,Y ) 的分布律，分别在有放回和无放回两 种情况下，写出关于 X 及关于 Y 的边缘分布律。 解 在有放回情况下 X 的边缘分布律为 X 0 1 概率 5 4 5 1 Y 的边缘分布律为 Y 0 1 概率 5 4 5 1 在无放回情况下 X 的边缘分布律为 X 0 1 概率 5 4 5 1 Y 的边缘分布律为 Y 0 1 概率 5 4 5 1 6. 求在 D 上服从均匀分布的随机变量 (X,Y ) 的密度函数及分布函数，其中 D 为 x 轴、y 轴及直线 y = 2x +1 围成的三角形区域。 解 区域 D 见图 5.2。 易算得 D 的面积为 4 1 2 1 1 2 1 S = = ，所以 (X,Y ) 的密度函数
f(x, y) 其他 (x,Y)的分布函数 F(,y)=C”Cf(x,y)k 当x<-或y<0时,F(xy) 当-x<00≤y<2x+1时 (x,y)=小y14adx=4x+2 当-≤x<0.y≥2x+1时,F(xy)=1d4dy=4x2+4x+1; 当x≥00≤y<1时,F(x,y)=44dx=2y-y 1时,F(x,y)=∫1df4dy=1 综合有 x<--或y<0 4. ≤x<0且0≤y<2x+1 X< 2 x≥0且0≤y<1 7.对于第6题中的二维随机变量(x,y)的分布,写出关于X及关于Y的边缘 密度函数。 解X的边缘密度函数为 f(x)=C"f(x,y)如y 2x+1 少 4(2x+1) 其他 其他 Y的边缘密度函数为
f (x, y) = 0, 4, ( ) 其他 x, y D (X,Y ) 的分布函数 ( ) ( ) − − = y x F x, y f x, y dxdy 当 2 1 x − 或 y 0 时， F(x, y) = 0 ； 当 0,0 2 1 2 1 − x y x + 时 , ( ) 2 0 2 1 F x, y dy 4dx 4xy 2y y y x y = = + − − ； 当 0, 2 1 2 1 − x y x + 时， ( , ) 4 4 4 1 2 2 1 2 1 0 = = + + − + F x y dx dy x x x x ； 当 x 0,0 y 1 时， ( ) 2 0 0 2 1 F x, y dy 4dx 2y y y y = = − − ； 当 x 0, y 1 时， ( ) − + = = 0 2 1 2 1 0 , 4 1 x F x y dx dy 综合有 0, 0 2 1 x − 或y 4 2 , 2 xy − y + y 0 0 2 1 2 1 − x 且 y x + F(x, y) = 4 4 1, 2 x + x + 0 2 1 2 1 − x 且y x + 2 , 2 y − y x 0且0 y 1 1, x 0且y 1 7. 对于第 6 题中的二维随机变量 (X,Y ) 的分布，写出关于 X 及关于 Y 的边缘 密度函数。 解 X 的边缘密度函数为 ( ) ( ) + − f x = f x y dy X , = 0, 4 , 2 1 0 x+ dy 其他 0 2 1 − x = ( ) 0, 4 2x +1 , 其他 0 2 1 − x Y 的边缘密度函数为 -1 2 1 − 0 1 x y 1 图 5.2
fr ()=mf(r,y)dx 2(1-y) 0<y<1 其他 其他 8.在第3题的两种情况下,Ⅹ与Y是否独立,为什么? 解在有放回情况下,由于x=0=0)=,而x=0=035,即 P(x=0y=0)=P(x=0)P(y=0);容易验证P(x=0,Y=1)=P(x=0)P(=1) P(x=1y=0)=P(x=1)P(y=0)P(x=1y=1)=P(x=1)P(y=1),由独立性定义知X与Y相 互独立。 在无放回情况下,由于Px=0r=0)=28,而P(x=0y=05525,易见 4416 P(x=0y=0)≠P(x=0)P(=0),所以X与Y不相互独立。 9.在第6题中,Ⅹ与Y是否独立,为什么? 解 1)4 43 而 易见 所以 X与Y不相互独立。 0.设X、Y相互独立且分别具有下列的分布律: 100.5 Y|-0.513 概率3123 概率 写出表示(x,Y)的分布律的表格。 解由于X与Y相互独立,因此 y)=P(x=x )Ply=y, hi 例如P(x=2y=-05)=P(x=2)Py=05)=1×1=1 428 其余的联合概率可同样算得,具体结果为 XY|-0.513
( ) ( ) + − f y = f x y dx Y , = 0, 4 , 0 2 y−1 dx 其他 0 y 1 = ( ) 0, 2 1− y , 其他 0 y 1 8. 在第 3 题的两种情况下，X 与 Y 是否独立，为什么？ 解 在有放回情况下，由于 ( ) 25 16 P X = 0,Y = 0 = ，而 ( ) ( ) 25 16 5 4 5 4 P X = 0 P Y = 0 = = ，即 P(X = 0,Y = 0) = P(X = 0)P(Y = 0) ；容易验证 P(X = 0,Y =1) = P(X = 0)P(Y =1), P(X =1,Y = 0) = P(X =1)P(Y = 0), P(X =1,Y =1) = P(X =1)P(Y =1) ，由独立性定义知 X 与 Y 相 互独立。 在无放回情况下，由于 ( ) 45 28 P X = 0,Y = 0 = ，而 ( ) ( ) 25 16 5 4 5 4 P X = 0 P Y = 0 = = ，易见 P(X = 0,Y = 0) P(X = 0)P(Y = 0) ，所以 X 与 Y 不相互独立。 9. 在第 6 题中，X 与 Y 是否独立，为什么？ 解 4 3 1 , 4 1 = f − ，而 3 4 3 1 2, 4 1 = = X − Y f f ，易见 − − 3 1 4 1 3 1 , 4 1 X Y f f f ，所以 X 与 Y 不相互独立。 10. 设 X、Y 相互独立且分别具有下列的分布律： X -2 -1 0 0.5 Y -0.5 1 3 概率 4 1 3 1 12 1 3 1 概率 2 1 4 1 4 1 写出表示 (X,Y ) 的分布律的表格。 解 由于 X 与 Y 相互独立，因此 P(X = x ,Y = y )= P(X = x )P(Y = y ),i =1,2,3,4, j =1,2,3, i j i j 例如 ( ) ( ) ( ) 8 1 2 1 4 1 P X = −2,Y = −0.5 = P X = −2 P Y = −0.5 = = 其余的联合概率可同样算得，具体结果为 X\Y -0.5 1 3 -2 8 1 16 1 16 1