习题六 1.设Ⅹ的分布律为 X|-2-0.5024 概率1111 6 求出:以下随机变量的分布律。(1)x+2;(2)-x+1;(3)x2。 解由Ⅹ的分布律可列出下表 概率|11111 8 6 2-0.5024 5246 40.250 由此表可定出 (1)x+2的分布律为 x+20 概率 3-214 (2)-x+1的分布律为 2 概率|11111 (3)x2的分布律为 4 概率 其中p(x2=4)=P(x=2)+P(x=-2) 7 8624
习题六 1. 设 X 的分布律为 X -2 -0.5 0 2 4 概率 8 1 4 1 8 1 6 1 3 1 求出：以下随机变量的分布律。（1） X + 2 ；（2）− X +1 ；（3） 2 X 。 解 由 X 的分布律可列出下表 概率 8 1 4 1 8 1 6 1 3 1 X -2 -0.5 0 2 4 X + 2 0 1.5 2 4 6 − X +1 3 1.5 1 -1 -3 2 X 4 0.25 0 4 16 由此表可定出 （1） X + 2 的分布律为 X + 2 0 2 3 2 4 6 概率 8 1 4 1 8 1 6 1 3 1 （2）− X +1 的分布律为 − X +1 -3 -1 1 2 3 3 概率 3 1 6 1 8 1 4 1 8 1 （3） 2 X 的分布律为 2 X 0 4 1 4 16 概率 8 1 4 1 24 7 3 1 其中 ( ) ( ) ( ) 24 7 6 1 8 1 4 2 2 2 P X = = P X = + P X = − = + =
2.设随机变量X服从参数x=1的泊松分布,记随机量y=0若X试求 1,若X>1 随机变量Y的分布律 解由于X服从参数=1的泊松分布,因此 P(x=k)=e1=,k=012… 而P(=0)=P(xs1)=P(X=0)+P(X=1)=c+=2e P(y=1)=P(x>1)=1-P(X≤1) 即Y的分布律为 Y 0 概率|21 3.设x的密度函数为=2其求以下随机变量的密度函数:(1) 2X;( 解求连续型随机变量的函数的密度函数可通过先求其分布函数,然后再求 密度函数。如果y=g(x)为单调可导函数,则也可利用性质求得 (1)解法一:设y=2X,则Y的分布函数 F()=Py)=P(xy)=x≤2 0 y<0 dy 0≤2<1 y 其他 解法二:y=2x,x=2=(),而h()=,则 f()=f()(
2. 设随机变量 X 服从参数 =1 的泊松分布，记随机变量 Y = 1, 1, 0, 1; X X 若 若 试求 随机变量 Y 的分布律。 解 由于 X 服从参数 =1 的泊松分布，因此 ( ) , 0,1,2, , ! ! 1 1 = = 1 = = − − k k e e k P X k k 而 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 0! 1! 0 1 0 1 − − − = = = = + = = + = e e e P Y P X P X P X ； ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 2 − P Y = = P X = − P X = − e 。 即 Y 的分布律为 Y 0 1 概率 1 2 − e 1 1 2 − − e 3. 设 X 的密度函数为 f (x) = 0, 2x, , 0 1; 其他 x 求以下随机变量的密度函数：（1） 2X ；（2）− X +1 ；（3） 2 X 。 解 求连续型随机变量的函数的密度函数可通过先求其分布函数，然后再求 密度函数。如果 y = g(x) 为单调可导函数，则也可利用性质求得。 （1）解法一：设 Y = 2X ，则 Y 的分布函数 ( ) ( ) ( ) = = = 2 2 y FY y P Y y P X y P X = 1 0 0 2 2 0 2 xdx xdx y 1 2 1 2 0 0 2 y y y = 1 4 0 2 y 2 0 2 0 y y y fY (y) = FY (y) = 0 2 y 其他 0 y 2 解法二： y = 2x， h(y) y x = = 2 ，而 ( ) 2 1 h y = ，则 f (y) f (h(y))h (y) Y X =
2 0 其他 y 0<y<2 其他 (2)设y=-x+1,则x=1-y=h)h()=-1,Y的密度函数 f(0)=fx(U)( 2(1-y)×(-1) 其他 其他 (3)设y=x2,由于X只取0)中的值,所以y=x2也为单调函数,其反函数 M()=√6()=,因此Y的密度函数为 f(0)=fx(U)( 其他 其他 4.对圆片直径进行测量,测量值X服从(56)上的均匀分布,求圆面积Y的概 率密度。 解圆面积y=zx2,由于ⅹ均匀取6中的值,所以X的密度函数 5<x<6 fx(x) 其他 且y=m2为单调增加函数(x∈(56),其反函数 h() ,h() Y的密度函数为 √ f(0)=fx((v)h( < 其他
= 0, , 2 1 2 2 y 其他 1 2 0 y = 0 , 2 y 其他 0 y 2 （2）设 Y = −X +1 ，则 x =1− y = h(y), h(y) = −1，Y 的密度函数 fY (y) = f X (h(y))h(y) = 2 1 1 ( ) ( ) 0 − − y 其他 0 1 − y 1 = ( ) 0 2 y −1 其他 0 1 − y 1 （3）设 2 Y = X ，由于 X 只取 (0,1) 中的值，所以 2 y = x 也为单调函数，其反函数 ( ) ( ) y h y y h y 1 2 1 = , = ，因此 Y 的密度函数为 fY (y) = f X (h(y))h(y) = 0, , 1 2 1 2 y y 其他 0 y 1 = 0, 1, 其他 0 y 1 4. 对圆片直径进行测量，测量值 X 服从 (5,6) 上的均匀分布，求圆面积 Y 的概 率密度。 解 圆面积 2 4 1 Y = X ，由于 X 均匀取 (5,6) 中的值，所以 X 的密度函数 f X (x) = 0, 1, . 5 6; 其他 x 且 2 4 1 y = x 为单调增加函数 (x(5,6)) ，其反函数 ( ) ( ) y y h y y y h y 1 1 2 2 1 , 4 2 = = = = ， Y 的密度函数为 fY (y) = f X (h(y))h(y) = 0, , 1 y , 6; 2 5 其他 y
25 <9丌; 其他 5.设随机变量X服从正态分布N(O),试求随机变量的函数y=x2的密度函 数f(y) 解x-N0),所以/()=e1-=<x<+,此时y=x2不为单调函数不 能直接利用性质求出f()。须先求Y的分布函数F1(y) 0 F()=P(≤y)=P(x2≤y) y<0 p(-≤x≤)y 叫(、≤Xs√=(== f()=F()={√z2√y√2n2V y>0 0. 其他 6.设随机变量X服从参数为1的指数分布,求随机变量的函数Y=e的密度 函数f() 解f()-「 >0 其他 y=e的反函数hy)=hyh(y)=-,因此所求的Y的密度函数为 In y>0 f(0)=fx((v)h( y 其他, y>1 其他 7.设X服从NO),证明∝+a服从Naa2)其中ao为两个常数且a>0 证明由于X~NO.),所以f(x) Vze-<xx+,记y=ax+a,则当a>0
= 0, , 1 y . 9 ; 4 25 其他 y 5. 设随机变量 X 服从正态分布 (0,1) ，试求随机变量的函数 2 Y = X 的密度函 数 f (y) Y 。 解 X ~ (0,1) ，所以 ( ) = − + − f x e x x X , 2 1 2 2 ，此时 2 y = x 不为单调函数不 能直接利用性质求出 f (y) Y 。须先求 Y 的分布函数 F (y) Y 。 FY (y) = P(Y y) = P(X y) = 2 P(− y X y ) 0 0, 0; y y ( ) ( ) − − − − = = y y y y P y X y f X x dx e dx x 2 2 2 1 . f Y (y) = FY (y) = 0, , 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 y e y e y y − − + , 0; 其他 y = 0, , 2 1 2 y e y − . 0; 其他 y 6. 设随机变量 X 服从参数为 1 的指数分布，求随机变量的函数 X Y = e 的密度 函数 f (y) Y 。 解 f X (x) = 0, , x e − . 0; 其他 x x y = e 的反函数 ( ) ( ) y h y y h y 1 = ln , = ，因此所求的 Y 的密度函数为 f Y (y) = f X (h(y))h(y) = ln 1 , 0, y e y − , ln 0; 其他 y = 0, , 1 2 y . 1; 其他 y 7. 设 X 服从 (0,1) ，证明 X + a 服从 ( ) 2 a, ,其中 a, 为两个常数且 0。 证明 由于 X ~ (0,1),所以 ( ) = − + − f x e x x X , 2 1 2 2 ，记 Y =X + a ，则当 0
时,y=ax+a为单增函数,其反函数(y)=y-a,()=,因此Y的密度函数为 f(0)=fx((v)h() {=) -0<y<+0 /2丌 即证明了ox+a~N(a) 1,若X>0 8.设随机变量X在区间[2上服从均匀分布,随机变量r=0若X= 1,若X<0 试求随机变量函数Y的分布律。 解X~-12],则f(x) 其他 而P=-)=P(x<0=Ca=} PY=0)=P(X=0)=0 P(=1)=P(x>0)=Ci 2 因此所求分布律为 Y|-101 概率303 9.设二维随机变量(X,)的分布律 ⅩY|123 8 3 81-8 401= 求以下随机变量的分布律:(1)X+y;(2)X-Y;(3)2X;(4)XY。 解
时， y =x + a 为单增函数，其反函数 ( ) ( ) 1 , = − = h y y a h y ,因此 Y 的密度函数为 ( ) ( ( )) ( ) ( ) = = = − + − − − − f y f h y h y e e y y a y a Y X , 2 1 1 2 1 2 2 2 2 2 1 ， 即证明了 ( ) 2 X + a ~ a, 。 8. 设随机变量 X 在区间 −1,2 上服从均匀分布，随机变量 Y = 1, 0 0, 0 1, 0. X X X = − 若 ； 若 ； 若 试求随机变量函数 Y 的分布律。 解 X ~ R−1,2 ，则 f (x) = 0, , 3 1 . 1 2; 其他 − x 而 ( ) ( ) − = − = = = 0 1 3 1 3 1 P Y 1 P X 0 dx ； P(Y = 0) = P(X = 0) = 0 ； ( ) ( ) = = = = 2 0 3 2 3 1 P Y 1 P X 0 dx 。 因此所求分布律为 Y -1 0 1 概率 3 1 0 3 2 9. 设二维随机变量 (X,Y) 的分布律 X\Y １ ２ ３ １ 4 1 4 1 8 1 ２ 8 1 ０ ０ ３ 8 1 8 1 ０ 求以下随机变量的分布律：（１） X + Y ；（２） X − Y ；（３） 2X ；（４） XY 。 解