延安大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（习题与答案）第二章 随机变量及其分布

11:电子计算机内装有2000个同样的电子元件,每一电子元件 损坏的概率等于0.0005,若任意元件损坏时,计算机就停止工作, 求计算机停止工作的概率 解设随机变量X表示损坏的电子元件数, 则X服从二项分布B(20000059 n=2000较大,且p=0.005较小, ∴X近似地服从泊松分布P() =2000×0.005=1. P(X21)=1-P(0)=1-0,el≈1-0.368=0.6532 0

16 解  = 2000 0.005 = 1.  ∵n = 2000 较大, 且 p = 0.005 较小， ∴X 近似地服从泊松分布 P ,   P X 1 11: 电子计算机内装有2000个同样的电子元件,每一电子元件 损坏的概率等于0.0005,若任意元件损坏时,计算机就停止工作, 求计算机停止工作的概率. 设随机变量X表示损坏的电子元件数, 则X服从二项分布 B(2000,0.0005)     0 1 -1 1 0 1 - 1 - 0.368 = 0.632. 0! = - P e

12.纺织工厂中一个女工照顾800个纱锭。每个纱锭旋转时,由于 偶然原因,纱会扯断。设在某一段时间内每个纱锭上的纱被扯 断的概率为0.005,求在这段时间内断纱次数不大于10的概率。 解设随机变量X表示在这段时间内断纱次数 X~B(80000所求概率分布为: P(0≤X≤10)=∑cm(000090m H=0 总的纱锭个数n=800较大,且p=0.005较小, X近似地服从泊松分布P()4=800×0.05=4 P(0sX10)≈∑,e 0.9972

17 12. 纺织工厂中一个女工照顾800个纱锭。每个纱锭旋转时,由于 偶然原因，纱会扯断。设在某一段时间内每个纱锭上的纱被扯 断的概率为0.005，求在这段时间内断纱次数不大于10的概率。 解 设随机变量X 表示在这段时间内断纱次数，  X ~ B800,0.005. ∴所求概率分布为： P0  X  10         10 0 800 800 0.005 0.095 m m m m C   8000.005  4    10 0 4 ! 4 m m e m ∵总的纱锭个数n = 800 较大, 且 p = 0.005 较小， ∴X 近似地服从泊松分布 P ,  P0  X  10  0.9972

13(帕斯克分布)设事件在每次实验中发生的概率为p,进 行重复独立实验,直至事件A发生r次为止,求需要进行的 实验总次数的概率分布。当r=1时,是什么分布? 解设X表示需要进行的实验总次数,X=r,r+1,r+2,… X=m表示前m-1次实验中事件A发生了r-1次,而第m次 实验中事件A发生, ∴P(X=m)=Cm1pq"·p=Cm1p"q"-(m=r,r+1,…) 时,P(X=m)=mm1,X显然服从几何分布

18 13（帕斯克分布）设事件A在每次实验中发生的概率为 p，进 行重复独立实验，直至事件A发生r 次为止，求需要进行的 实验总次数的概率分布。当r=1时，是什么分布？ 解 设X 表示需要进行的实验总次数， X  r, r  1, r  2,  {X  m}表示前m – 1次实验中事件A发生了r - 1次，而第m次 实验中事件A发生， P X m C p q p r r m r m         1 1 1 ( ) r r m r m C p q     1 1 (m  r,r  1,) r  1时，   , X 显然服从几何分布. 1   m P X m pq

14设一只昆虫所生的虫卵数X~P(孔),而每个虫卵发育成幼虫的 概率为p,并且各个虫卵能否发育为幼虫是相互独立的,求一只 昆虫所生幼虫数Y的概率分布 解P(X=m)= )=m,e(m=0,1,2,…) P(r=k X=m)=CkPqm-k(k=0, 1, 2,..., m) =(Y=k)(X=k)+(Y=k)(X=k+1)+(y=k)(X=k+2)+ PY=k)=∑PI(Y=k)X=k+m 2 P(X=k+m). P(Y=k|X=k+m) Q k+m ∑ e. Ckimp" q (k+m)

19 k k m k C m p q   (k = 0, 1, 2, , m) 14 解     e m P X m m ! ( ) (m = 0, 1, 2, ) P(Y  k | X  m) Y  k  (Y  k)(X  k)  (Y  k)(X  k  1)  (Y  k)(X  k  2)  P(Y  k) [( )( )] 0 P Y k X k m m       ( ) ( | ) 0 P X k m P Y k X k m m           k k m k m k m m e C p q k m           ( )! 0

(=k)=∑ k+m) k+mp q +m (k+m) k m ∑ pg=, (k+m)!k! ! ∑ n=0 m ~p) e e ! K! Y P(p) 17.函数 1+x2可否是连续随机变量X的分布函数,如果 x的可能值充满区间:(1)(-∞,+∞0);(2)(-∞,0) 解():F(+∞)=0≠1不是 (2):F(-∞)=0F(0)=1且函数单调递增, x<0 所以F(x)=11+xx> 可以是X的分布函数。 0 20

20 k k m k m k m m e C p q k m           ( )! 0 k m k m m p q k m k m k m e ! ! ( )! ( )! 0           ! ( ) ! ( ) 0 m q k p e m m k        q k e k p e     ! ( ) PY  k p k e k p   ! ( ) Y ~ P(p) 17. 函数 可否是连续随机变量X 的分布函数，如果 解 F   0  1 F   0 F0  1 且函数单调递增， 所以 可以是X的分布函数。 0 0 1 1 1 ( ) 2         x x F x x X 的可能值充满区间：（1） （2） ⑴ ⑵ 不是；