留数定理 ■单极点情况 单极点的留数由下面的公式确定 Resf(b)= lim[(z-b)f(s) ->b 如果f(z)为分式,即f(z)=P(z)/Q(z),P(b)≠0,则有 Res f(b)=lim (2-b)P(2) →)b Q() lim (z-b)P(=)P(b) →>bQ(z) O(b)
留数定理 ◼ 单极点情况 • 单极点的留数由下面的公式确定 Res f (b) lim[(z b) f (z)] z b = − → • 如果f(z)为分式，即f(z)=P(z)/Q(z), P(b)≠0，则有 ( ) ( ) ( ) Re s ( ) lim Q z z b P z f b z b − = → '( ) ( ) '( ) ( )' ( ) lim Q b P b Q z z b P z z b = − = →
留数定理 例1 问题:计算函数f(z)=z2exp(1/z)的留数 解:f(z)有一个孤立奇点z=0,是本性奇点,在该点罗朗展开 1()==2k-0h1-=∑k212 es f(o) 例2 问题:计算函数f(z)=sin(z)/(z-1)2的留数 解:f(z)有一个孤立奇点z=1,是2阶极点,应用公式 →l1!dlz (=-1)f( =im 11!dz sinz=cos l
留数定理 ◼ 例1 • 问题：计算函数 f(z) = z2 exp(1/z) 的留数。 • 解：f(z)有一个孤立奇点z=0, 是本性奇点，在该点罗朗展开 k k k k z k z k f z z − = − = = = 2 0 1 2 ! 1 ! 1 ( ) 3! 1 1 Re s f (0) = a− = ◼ 例2 • 问题：计算函数 f(z) = sin(z)/(z-1)2 的留数。 • 解：f(z)有一个孤立奇点z=1, 是2阶极点，应用公式 [( 1) ( )] 1! 1 Re s (1) lim 2 1 z f z dz d f z = − → sin cos1 1! 1 lim 1 = = → z dz d z