北京交通大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件）第三章 多维随机变量及其分布（3.5）多维随机变量函数的分布

第三章随机变量及其分布 连续型随机变量和的分布 §5多维随机变量函数的分布 f2(=)=「f(x,=-x)x 注意到在前面的积分中 2-x F2()=J(,yk=ja∫(, x+V<z 我们是先对y,后对x积分的,若将其改成先对x, 后对y积分,通过类似的计算,有 ]返回主目录

连续型随机变量和的分布 ( ) ( )  + − f z = f x z − x dx 即 Z ， 注意到在前面的积分中 ( ) = ( ) =  x+ yz Z F z f x， y dxdy 后对 积分，通过类似的计算，有 我们是先对 ，后对 积分的，若将其改成先对 ， y y x x 第三章 随机变量及其分布 §5 多维随机变量函数的分布 ( )   − − + − z x dx f x， y dy 返回主目录

第三章随机变量及其分布 连续型随机变量和的分布 §5多维随机变量函数的分布 2(2)=「f(-y,yy 特别地,如果随机变量X与Y相互独立,则有 f(x,y)=fx(x)/() 此时,我们有 ()=「f(x)(=xk 或者()=「fx(2-y)(y ]返回主目录

连续型随机变量和的分布 ( ) ( )  + − f z = f z − y y dy Z ， 特别地，如果随机变量X 与Y 相互独立，则有 f (x y) f (x)f (y) ， = X Y 此时，我们有( ) ( ) ( )  + − f z = f x f z − x dx Z X Y 或者 ( ) ( ) ( )  + − f z = f z − y f y dy Z X Y 第三章 随机变量及其分布 §5 多维随机变量函数的分布 返回主目录

第三章随机变量及其分布 连续型随机变量和的分布 §5多维随机变量函数的分布 我们称上式为函数f(x)与f(y)卷积,记作 f(x)*f,(y) 因此,我们有以下结论: 如果随机变量X与Y相互独立,则它们的和 Z=X+Y的密度函数等于X与Y密度函数的 卷积: f2(2)=「f()(=x fz(=fxx)*frl 2()=f(-y)0

连续型随机变量和的分布 我们称上式为函数 f X (x)与 f Y (y)的卷积，记作 f (x) f (y) X * Y 因此，我们有以下结论： 卷积： 的密度函数等于 与 密度函数的 如果随机变量 与 相互独立，则它们的和 Z X Y X Y X Y = + f (z) f (x) f (y) Z = X * Y 第三章 随机变量及其分布 §5 多维随机变量函数的分布 ( ) ( ) ( )  + − f z = f x f z − x dx Z X Y ( ) ( ) ( )  + − f z = f z − y f y dy Z X Y

第三章随机变量及其分布 例3 §5多维随机变量函数的分布 设随机变量X与Y相互独立,都服从区间(0,1)上的 均匀分布,令Z=X+Y,试求随机变量Z的密度函数 解: 由题意,可知 知=()(=x 10<x< fx(x) 0其它 f()= 0<y<1 0其它 设随机变量Z=X+Y的密度函数为f2(=),则有 f()∫(x)=x ]返回主目录

例 3 解： ( ) 均匀分布，令 ，试求随机变量 的密度函数． 设随机变量 与 相互独立，都服从区间 ， 上的 Z X Y Z X Y = + 0 1 由题意，可知 ( )      = 0 其它 1 0 x 1 f x X ( )      = 0 其它 1 0 y 1 f y Y 设随机变量Z = X +Y的密度函数为 f Z (z)，则有 ( ) ( ) ( )  + − f z = f x f z − x dx Z X Y 第三章 随机变量及其分布 §5 多维随机变量函数的分布 返回主目录 ( ) ( ) ( )  + − f z = f x f z − x dx Z X Y

第三章随机变量及其分布 例3(续) §5多维随机变量函数的分布 ()∫(x)(=-x)x 2-X 2 0 0<x<1.0<z-x<1 (1).若z≤0,或z≥2,f2(=)=0 0 (2.若0<≤1,z()=x=z 0 (.若1<<2,f()=「=2- 综上所述,我们可得 z0<z≤1 z=x+Y的密度函数为()=12-1<:<2 0 其它[合返回主目

例 3（续） ⑴．若z  0，或 z  2, f Z (z)= 0 ⑵．若0  z  1， ( )  = z Z f z dx 0 1 = z 第三章 随机变量及其分布 §5 多维随机变量函数的分布 ( ) ( ) ( )  + − f z = f x f z − x dx Z X Y 0  x 1, 0  z − x 1 x z z − x = 0 z − x = 1 0 1 1 2 ( )  − = 1 1 1 z ⑶．若1  z  2，f Z z dx = 2 − z 的密度函数为 综上所述，我们可得 Z = X + Y ( )      −     = 0 其它 2 1 2 0 1 z z z z f z Z 返回主目录