1、极限的定义 定义如果对于任意给定的正数e(不论它多么 小),总存在正数N,使得对于n>N时的一切xn,不 等式xn-a<8都成立那末就称常数是数列n 的极限,或者称数列xn收敛于n,记为 imxn=a,或xn→>a(n→>) →00 "-N"定义 VE>0,N>0,使n>N时,恒有xn-a<E
定 义 如果对于任意给定的正数 (不论它多么 小),总存在正数N ,使得对于n N 时的一切 n x ,不 等式 x − a n 都成立,那末就称常数a 是数列 n x 的极限,或者称数列 n x 收敛于a ,记为 lim x a, n n = → 或x → a (n → ). n 0,N 0, n N , x − a . 使 时 恒有 n 1、极限的定义 " − N"定义
定义2如果对于任意给定的正数(不论它多么小) 总存在正数8,使得对于适合不等式0<x-x<6的 一切x,对应的函数值f(x)都满足不等式 ∫(x)-A<E, 那末常数A就叫函数f(x)当x→x时的极限,记作 imf(x)=A或∫(x)→A当x→>x0) x→x ε-8"定义ⅤE>0,38>0,使当0<x-x<8时, 恒有∫(x)-A<8
定义 2 如果对于任意给定的正数 (不论它多么小) , 总存在正数,使得对于适合不等式 − 0 x x0 的 一切x,对应的函数值 f ( x)都满足不等式 f ( x) − A , 那末常数A就叫函数 f ( x)当x → x0时的极限,记作 lim ( ) ( ) ( ) 0 0 f x A f x A x x x x = → → → 或 当 " − "定义 ( ) . 0, 0, 0 , 0 − − f x A x x 恒有 使当 时
左极限E>0,38>0,使当x-8<x<x时, 恒有f(x)-A<E 记作imf(x)=A或f(xo-0)=A x→xa-0 x→x 右极限Ve>0,38>0使当x0<x<x0+δ6时, 恒有∫(x)-A<8 x+10+0(x)=A 记作lim 或f(x+0)=A (x→>x) 定理:limf(x)=A台f(x0-0)=f(x0+0)=A
左极限 ( ) . 0, 0, , 0 0 − − f x A x x x 恒有 使当 时 右极限 ( ) . 0, 0, , 0 0 − + f x A x x x 恒有 使当 时 lim ( ) ( 0) . 0 ( ) 0 0 0 f x A f x A x x x x = − = → − → − 记作 或 lim ( ) ( 0) . 0 ( ) 0 0 0 f x A f x A x x x x = + = → + → + 记作 或 : lim ( ) ( 0) ( 0) . 0 0 0 f x A f x f x A x x = − = + = → 定理
2、无穷小与无穷大 无穷小:极限为零的变量称为无穷小 记作mm∫(x)=0(或lm∫(x)=0) 无穷大:绝对值无限增大的变量称为无穷大 记作lmf(x)=0(或imf(x)=0) x→x0 无穷小与无穷大的关系 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为 零的无穷小的倒数为无穷大
无穷小: 极限为零的变量称为无穷小. lim ( ) 0 ( lim ( ) 0). 0 = = → → f x f x x x x 记作 或 无穷大: 绝对值无限增大的变量称为无穷大. lim ( ) ( lim ( ) ). 0 = = → → f x f x x x x 记作 或 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为 零的无穷小的倒数为无穷大. 无穷小与无穷大的关系 2、无穷小与无穷大
无穷小的运算性质 定理1在同一过程中,有限个无穷小的代数和 仍是无穷小 定理2有界函数与无穷小的乘积是无穷小 推论1在同一过程中有极限的变量与无穷小的 乘积是无穷小 推论2常数与无穷小的乘积是无穷小 推论3有限个无穷小的乘积也是无穷小
定理1 在同一过程中,有限个无穷小的代数和 仍是无穷小. 定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的 乘积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 无穷小的运算性质