dAdAcosa1dAsinaZFn = 0.dA -(o,dAcosα)cosα + (tdAcosα)sin α-(,dAsin α)sin α +(tydAsin α)cosα = 0=, cos?α+, sin?α-t sin αcosα-T sin αcosαZF, =0T=o, sin αcosα-, sin αcosα+tx, cos'α-T sin α
Fn = 0 dA τyx σ y τxy σx σ α τ α n α dAsin α α dA dAcos α cos sin sin cos sin cos 2 2 = x + y − xy − yx − ( y dAsin )sin − ( x dAcos )cos + ( xydAcos )sin + ( yxdAsin ) cos = 0 τyx σ y x y σ y τxy σ x σ x n α = 0 F 2 2 sin cos sin cos cos sin = x − y + xy − yx
=o, cosα+o, sin α-t sin αcosα-tu sin αcosαTα=o sin α cosα-o, sin αcosα+tT cos?α- T sin"α简化:① Tx=T1+cos2αXVVXcos"α=2②三角倍角公式1- cos2αsinα2sin 2α=2sinαcosα得：+0Ocos2α-T, sin 2α(73)22-0(7—4)sin 2α+t.,.cos2α2
简化： xy yx ① = ② 三角倍角公式 sin 2 2sin cos 2 1 cos 2 sin 2 1 cos 2 cos 2 2 = − = + = 得： sin 2 cos 2 2 cos 2 sin 2 2 2 xy x y xy x y x y + − = − − + + = cos sin sin cos sin cos 2 2 = x + y − xy − yx 2 2 sin cos sin cos cos sin = x − y + xy − yx （7—3） （7—4）
cos2α-t., sin 2α (7—3)2(74)sin2α+t..cos2α讨论：a、平面应力状态下，一点的应力状态由过该点的两确定个相互垂直截面上的应力（ooTxyb、+α+90 =,+,=常数O
sin 2 cos 2 2 cos 2 sin 2 2 2 xy x y xy x y x y + − = − − + + = 讨论： a、平面应力状态下，一点的应力状态由过该点的两 个相互垂直截面上的应力 ( ) x y xy , , 确定 b、 + +90 = x + y = 常数 （7—3） （7—4） τyx σy x y σy τxy σx σx n α
二、最大正应力及其作用面1、最大正应力作用面do福0(-2sin 2α)-t(2cos2α)2da=-2tαdoα=0则：设α=α时有daQXtg2α.=sin 2α.+tcos2α.=02g.-0(75)0-0cos2α-txsin2α解出α及α+9022-sin2α+t,cos2α02
二、最大正应力及其作用面 1、最大正应力作用面 ( 2sin 2 ) (2cos 2 ) 2 xy x y d d − − − = = −2 sin 2 cos 2 2 cos 2 sin 2 2 2 xy x y xy x y x y + − = − − + + = = = 0 d d 设 时有： 则： sin 2 cos 2 0 2 + = − xy x y x y xy t g − = − 2 2 （7—5） 解出 及 +90 τyx σy x y σy τxy σx σx n α
2、最大正应力分析doα=-2Txydadoada都是主应力O?maxmn0210maxmn+00-0Ocos2α- Txy sin 2α22sin2α+tcos2α
2、最大正应力分析 xy dd = − 2 = 0 = 0 dd sin 2 cos 2 2 cos 2 sin 2 2 2 xy x y xy x y x y + − = − − + + = max 、 min都是主应力 max min 1 2 3 、 、0 、 、 τyx σ y x y σ y τxy σ x σ x n α