《材料力学》课程教学课件（PPT讲稿）第七章 应力状态分析

2TX3、最大正应力求解tg2a.cos2α.1+tg°2α.tg2α.sin 2α.J1+tg2α将上式代入（83）式，得：?max2(76)十min2cos2α-T.sin22

3、最大正应力求解 2 2 max 2 2 xy x y x y       +         − + + = x y σy τyx σx σy τxy σx 2 2 min 2 2 x y x y xy       + −   = − +     将上式代入（8—3）式，得 ： （7—6）          cos 2 sin 2 2 2 xy x y x y − − + + =                1 2 2 sin 2 1 2 1 cos 2 2 2 2 2 t g t g t g t g x y xy + = + = − = −

若0x>Q,则α。α。+90°中绝对值较小者确定αmx所在的平面若<则α、α。+90°中绝对值较小者确定αmi所在的平面tg2α.0电maxminT

2 2 max 2 2 xy x y x y       +   − + + = x y σ y τyx σ x σ y τxy σ x 2 2 min 2 2 xy x y x y       +   − − + = 则 、 +90 中绝对值较小者确定  max所在的平面 : 若  x   y : 若  x   y 则 、 +90 中绝对值较小者确定  min所在的平面 x y xy tg     − = − 2 2 

1例题：单元体各侧面应力如图，求指定斜截面应力；主应力大小；主平面位置；在单元体上绘出主平面及主应力。0.4MPa解：0.2MPa已知：o=-1MPa，，oy=-0.4MPa，1.0MPaTxy=-0.2MPa,α=-40°40°（一）、求斜截面应力：0+0cOs2(-40°)O-40°22-tx sin 2(-40°)sin 2(-40°)+tcos2(-40)402

σx =-1MPa， 解： 例题：单元体各侧面应力如图，求指定 斜截面应力；主应力大小；主平面位置； 在单元体上绘出主平面及主应力。 已知： sin 2( 40 ) cos 2( 40 ) 2 2 4 0    − − − − + + = − xy x y x y       sin 2( 40 ) cos 2( 40 ) 2 4 0    − + − − = − xy x y     (一)、求斜截面应力： y x 40° 0.4MPa 0.2MPa n 1.0MPa α=-40° ，σy =-0.4MPa， τxy =-0.2MPa

（二）、求主应力、主平面：-1-0.4+0Vo.32+0.22=-0.339MpaOmax2+O-1-0.4OV0.32+0.22=-1.06MPamn222t2x0.2-1.667tg2a。3-1+0.40.4MPa及α,=60.5°α。=-29.5°0.2MPa1.0MPaO, =0, ,=-0.339MPa,X40°03 =-1.06MPaα。=-29.5°对应3

2 2 max 2 2 xy x y x y       +         − + + = = −29.5 = 60.5  及 3  29.5 对应   = − = − = − x y xy t g     2 2  (二)、求主应力、主平面： 1.06MPa  3 = − 1.667 3 2 1 0.4 2 0.2 = − = − − +  + 0.3 0.2 1.06MPa 2 1 0.4 2 2 − + = − − − 0.3 0.2 0.339Mpa 2 1 0.4 2 2 + + = − − − = + =         − − + = 2 2 min 2 2 xy x y x y       y x 40° 0.4MPa 0.2MPa n 1.0MPa 0 , 1 = 0.339 ,  2 = − MPa

主平面：（三）、在单元体上标明主应力、α。=-29.5°及α=60.5°α。=-29.5°对应3C, =0,02 =-0.339MPa, 0, =-1.06MPa0.339MPa0.4MPa0.4MPa0.2MPa0.2MPa1.0MPa.5°X040L.06MPa

= −29.5 = 60.5  及 3  29.5 对应   = − (三)、在单元体上标明主应力、主平面： 0 , 0.339MPa, 1.06MPa 1 =  2 = −  3 = − 29.5° y x 0.4MPa 0.2MPa 1.06MPa 0.339MPa y x 40° 0.4MPa 0.2MPa n 1.0MPa