§1.2连续映射 易见∫没有不动点,81不具有不动点性质 因此,【和8不同胚.■ 128积空间 积空间的概念给出了由一族拓扑空间构造新的拓扑空间的一 种方法.这新的拓扑空间就点集和它上面的拓扑两方面来说,与 所给的拓扑空间有密切的关系。为简单起见,先考察欧氏平面R 和实直线R的关系.作为点集,显然F=R×R,有端是点集的笛 氏积.就拓扑而言,网中的开集有较复杂的形式,不能简单地分 解成R中两个开集的笛氏积,然而却以子集族{×U,V是R 的开子集}为基.以,四2R记关于第一与第二分量的射影: p(m,2)=,P(m,an)=,则R有子基{y,(U)|U是R的 开子集,=1,2}.下面以此为背景,给出任意个拓扑空间的积空 间的定义, 188定义设{(x, λ∈A}是一蕨拓扑空间 nr(e ∏x∈AX是集合族{xx∈办x 的笛氏积,: IxeaX,→>Xk 是第个射影,令 x {(UxU2∈丌, A∈A} 图辶 是IAx的子集族.Ⅱ6AA上以为子基的拓扑称 为{4A∈A的积拓扑,(IAx,)称为{(,)|λ∈A} 的积空间简记为eAKx 现在讨论子基如何生成基豸.记{,…,μ是指标集A 中有限个相异的指标,U是x八的开集(=1,…,%则按照子 基的定义,团由下列形式的子集组成 B 如暴用笆氏积来描述,注意到2=(a2)∈B等价于an∈U(=1
第~章点集拓扑 …,m),而当λ≠{,…,2时a∈X不受限制.所以B又可表 示为 B=Ⅰ∈aU 其中,当λ≠{x,…,脚时,U=xx,特别地,当指标集为有限集 }时 团={1XU×…×U{U长∈只,12,…,7 【例】环面同胚于两个圆周的积空间8×81:T81×82, 简记为一S4×.事实上,环面上经、纬度分别为c,的点 ((a+cx2)ox1,(a+coa)sina,sina)对应于8×的点 9a,6 刺破的平面C、0}同胚于实直线网与圆周S的积空间.事 实上C\{0}的点r对应于Rx8的点(1nT,) 184定理对每个P∈A,射影p:Ik6Axx→x是连续的 开的满射,且积拓扑是使所有P连续的最粗的拓 证明9显然是满射.由∥s的定义,对xB的任意开集Ua p(Un)∈c%,因而p连续.为证P是开映射,只要证明对 任意B∈团,(B)是x的开集、设 B-0x2(U), 其中Ux是xx的开集则有 Pn(B)-{04当∈…n}时 x。当μ(仇,…,λ}时, P(B)总是xp的开集 设刃是ⅠL∈Axx上的另一个拓扑,使得对任意∈A,熟关 于丌连续.则对Xa的开集Unm(U∈升,于是c丌 生成的积拓扑,即积拓扑是快所有P连续的最粗的 拓扑. 185定理设Y是拓扑空间映射∫:Y→1LAxx连续的充 要条件为:对任意μ∈A,pJ:Y→K连续
§1.2连续映射 →114 X 证明必要性.由复合映射的连续性即得 充分性.设所有连续,中任意成员P2U)关于f的 原象∫(m(U1))=(mnf)(U叫是y的开子集,因此∫连 续 特别地当民由f(z)=(1(m),…,∫(a)给出时, ∫连续的充要条件为:所有∫连续.这是我们在数学分析中所熟 知的 设{Xx1∈A}是一族拓扑空间,那末在点集AX上,除 了积拓扑外,还可以賦予另一种拓扑B,它以下面的子集族为 基: {I八U∈丌,∈A}, 称为盒拓扑.它比积拓扑细,且当指标集A为有限集时两者相 符.盒拓扑远不如积拓扑重要,但常用来构造反例(见习题41 42).以后如不特别说明,笛氏积上的拓扑总是指积拓扑 124商空间 商空间的概念给出了构造新的拓扑空闻的又一种方法.它来 源于几何学中以切割与粘贴来构造几何图形的思想。例如,将线 段两端彩贴得到的图形同胚于圆周等等 186定义设(X,刃)是-个拓扑空间,~是x上的等价关 系.X/~是X关于等价关系~的商集合,听:x→>x/~是自然 射影.商集合X/~的子集族{cx/~m-1(U0∈刃}是 x/~上的拓扑称为商拓扑拓扑空间(x/~,少)称为(X,) 关于等价关系~的商空间,简记为x/ 187定理设x/~是拓扑空间X关于等价关系~的商空
第一礅点集拓扑 间,则 (1)自然射影v:又→>x/~是连续的满射; (2)商拓扑彡~是使c连续的最细的拓扑; (3)设Y是拓扑空间,映射f:x/~→Y连续的充要条件 为:∫:→Y连续 X-Y x 证明(1)w显然是满射,由商拓扑的定义,~中集合关 于丌的原象是X的开子集因此连续 (2)设是x/~上使:x→X/~连续的拓扑,则对任意 U∈,1(U)∈男由商拓扑的定义,U∈,即丌'C少 从而~是使第连续的最细的拓扑; (3)必要性由复合映射的连续性即得.为证充分性,设U是 Y的任意开子集由∫m的连续性,∫1{U)关于的原象 是X的开集.由商拓扑的定义,f(U)是x/~的开子集因此 ∫连续, 设∫:X→Y是连续的满射,由∫可以定义x上的等价关系 ~’如下:吗,幽∈星,~两当且仅当∫(a)-f(a).定义∫ x/~→+Y为f([叫])f(a),其中[叫是所属的等价类 1命题设/:x→Y是连续的满射,则由上述定义的∫ 是连续的双射,且当厂是开(闭)映射时,∫“是同胚 证明容易验证f“是双射.又因∫-f"m连续,由上面定理 即得疒“连续.当∫是开(闭)映射时,设A是X/~r的任意开 (闭)子集则fA)=f(m1A)是的开(闭)子集,因此f是同胚 x/~
§12连续映射 根据这一命题,许多常见的几何图形可以用商空间来表示,通 常在较简单的空间(例如线段、2维园盘)上,定义适当的等价关 系,使所得的商空间与已知图形同胚,这就是“粘贴”的数学描 述 【例1】设A是拓扑空间X的闭子集,将又按如下规则分 成等价类:A中的历有点属于一类,X\A的每一点自成一类.这 样得到的商空闻称为由捏A成一点而得,记作X/A 特别地将线段I[O,1的两个端点a一{,1捏成一点, 得到商空间I/.设:→>8是指数映射?(4)-ea,可以证明 P导出的映射p:I/→8是同胚 gigi/ar 图1.1 图1.12表示6的开子集U对应于这样的等价类的集合,它 在自然射影m:I→/Ⅰ下的原象是I中的开集V(=1,2) 01 图1.12 间 将圆盘D的边界"-捏成一点,可以证明所得到的商空 D/8-1同胚于S° 【例2】在正方形P上定义等价关系~为:(a,m) ),(O,a3)~(1,a),(1,a)~(O,a),得到商空闻I/~,这 作法直观地表述为将I2的两条竖直边同向粘贴.可以证明 F2/~和柱面S2×I同胚,■