一森点集拓扑 时拓扑空间和F称为同胚的,记作X=Y,在同胚下保持不 变的性质称为拓扑性质(或拓扑不变性) 映射∫:x→Y如果把X的任意开(闭)子集映成Y的开(闭 子集,则称为开(闭)映射 连续的双射不一定是同胚. Kuratowski构造出拓扑空间x 和y,以及连续的双射∫:x→Y,9:Y→>K,但x和不同胚 Hocking研究了连续的双射是同胚的某些条件, 【例1】设∫[0,1)→2由∫(4)一2“给出.易证f是连续 的双射,但∫1不连续 事实上,开)在∫下的原象不 是S的开集 【例2】设<b,0<,则[b和[,是同胚的.同胚 f:[ab]-[o,a由∫()--(a-a)+给出,称为线性同 胚 【例3】设O是R中有界闭凸集且包含内点,则同胚于 维圆盘D"-{a∈R|l<1}. 证明不妨设原点O是O的内点且DCO,令函数:R→ R由下式给出 ()=in>0∈0 (1)先证明满足 1°(m)≥0,且当m≠0时,p(a)≠0; 2°对0,P(t)一t(z) 3°y(a+y)<p(a)+p(y) 1°和2°是显然的.现证明3°.对任意8>0,存在λ,>0使 得 p(a)<A<(叫)+5,页∈O p(v)<<y()+5,y∈O. 相加得?(a)+?(y)≤+1<y(a)士?(y)+8
§12连续映射 x++P里∈O.所以 因为O是凸集,十比“飞十比十山 p(a+y)≤λ4{<?()+p(y)+日 令8-0,得y(+y)≤?(a)+p(y) (2)再证明O可表示为O{a∈Rlp(∞)≤1,沪连续 寡实上,对a∈C,白于∈可知?()<1.反之,当e(a)=0 时,a=0∈G;当0<()<1时,对任意8>0,存在λ>0,使得 x∈C,且m()<λ<2(a)+6.但O是闭集,由x∈可得 2(a∈O.再由O是凸集,0∈0和?()<1得m=(m) ( ∈O.因此,O={∈R|p(a)≤1} 对任意a≠0 ∈D"c0,故有? ≤1,从而 ≤l叫。于是有不等式 (c)-y(g)|≤mx((m-y),?(y-a)}<|a-y, 因此?(a)连续 (3)作同胚f:D→O,注意到在原点O出发通过x≠0的射 线上,∫应将D的边界点 z 映成O的边界点-,可决定 “放大系数以定义∫如下: f(∞) 图1.7
第一章点集扣扑 c≠0, f(a)=1( 0 容易验证f是同胚.I 集合D-{m∈|叫<1称为维开圆盘 【例4】R+的子空间S-{∈R+1叫=1}称为维球 西.球极射影是“刺破的球面”"{到欧氏空间R的同胚,其 中y=(0,…,0,1)称为S的北极.球极射影∫:S"{}→定 义郊下 对任意a∈8{},设从出发通过m的射线和赤道平面 R一{x∈R1a1=0}的交点记为y.由 y-xx+(1-M),λ∈R 解得λ 令 ∫(a) 容易验证f是同胚 f(r) Q腰 图18 R的子空间T灬{(a,a2,叫)∈R(√吗+一a)Q1 (a>1)称为环面它由限中n-平面上的圆周{(a1,a2,2B)∈R (a1-a)3+0=1,2=0}绕a轴旋转而得.R的子空间A {a∈R11<|<2}称为平环.从图19可知:环面同胚于带柄 的杯子的表面;挖去一个开圆盘的环面同胚于两个粘在一起的平
§12连续映射 图19 环。直观上,同胚是图形的连续变形,而不发生撕破或粘连 对于任意给定的一族拓扑空间,同胚是这拓扑空间族上的 等价关系,拓扑空间按照同胚分成等价类.同一类中的空间不仅 其中的点一对应,而且开集也一—对应,它们具有相同的拓扑性 质.这表明拓扑性质是那些用开集来刻划的性质,拓扑学就是研 究空间的拓扑分类和拓扑性质的 180定义设X和Y是拓扑空间,:x→Y是连续映射
第…章点集拓扑 如果f是Ⅹ到∫(x)的同胚,则称∫是嵌入,也称Ⅹ可嵌入P 任意包含映射是嵌入,当X可嵌入Y中时,在同胚的意义 下,x就是F的子空间,可由Y的性质得到X的某些性质 181定义设x和Y是拓扑空间,f→Y是连续映射 如果对任意x∈x,存在的开邻域U,使得f(U)是Y的开集, 且∫是U到∫(U)的同胚,则称f为局部同胚 同胚必是局部同胚.反之不一定.例如:由2(6)=6给出 的连续映射?R→> 182定义设X是拓扑空间,J:X→>X是x到自身的连 续映射.如果a∈,使得f(m")一a,则称x°为∫的不动点,如 果X到自身的任意连续映射均存在不动点,则称拓扑空间x具 有不动点性质 不动点性质是拓扑性质.事实上,设x是具有不动点性质的 拓扑空间,而x→Y是同胚,对任意连续映射F→Y,作子一 lfh:x→x,它必有不动点,记为,此时y"=b(a)满足 f()-h(x")=bf(a)-y,即是∫的不动点.因此Y也具 有不动点性质 利用上述事实可以证明某些空间不同胚 【例】闭区间I=[0,1具有不动点性质;而圆周8不具有 不动点性质 事实上对任意连续映射∫:I→I,若∫(0)-0或∫(1)1,则 0或1即为不动点.否则,必有f(0)-0>0,f(1)-1<0,由介 值定理,存在a∈(0,1),使∫(∞”)-a·=0,即f(a”一、Ⅰ具 有不动点性质 将84表示成8-{a∈Cz=1}.令:>1为厂(a)=-