第一章点集扑 图1 图1.14 B (1,1 狐 图1.1 (0,x) b(z,0) 将正方形的两条竖直边反向粘贴起来,得到Mbiu8带 【例8】将正方形P的两条水平边同向料贴起来,再将两条 竖直边同向粘贴赵来,得到的商空间和环面=S4×8同胚.事 实上,设∫:1→)4×8由y(x,)=(,)给出,可以证
§.2连续映射 明∫导出的映射f“:P/~r8×s是同胚.■ 【例4】7维实射影空间F 在集合x一國+{}上引进等价关系~:对幻,∈X, n~22当且仅当存在实数λ≠0,使得a=m2.由此得到的商空 间Ⅹ/~称为%维(实)射影空间,记作P(或RP).P称为射 影平面, 将点≠0所在的等价类对应于R+中连结原点O和点的 直线,就可以将P看作郎+中过原点的直线的全体 设m:星→P是自然射影,w在"上的限制p=m|m:S"→P 是连续的满射,可以证明P全S"/~y即P可由迭合上的诸 点对a和一z而得.和-称为一对对径点(见图1.17). 此外,实射影空间还可由粘贴圆盘D的边界上诸对径点而 得.特别地,P同胚于8 图1.17 【例5】正方形的两条水平边同向粘贴起来,再将两条 竖直边反向粘贴起来,得到的商空间称为K1in瓶(见图118).■ 在上述例子中,我们利用商空间构造出一些新的拓扑空间,它 们是代数拓扑学的重要研究对象这个构造过程所给出的这些空 间的表示方法后面经常用到.例子中所提到的那些映射是同胚的 证明,用后面讨论紧性时的结论将更简捷,因此这里从略
第一章点集拓扑 图1. 在讨论商空间时,要注意避免直观上的错误.下面的例子说 明这一点 【例6】对正整数n,令 L={(,n)∈Rl∈R},T。-{(x,w)∈|∈P 是平面R上两条直线.令X一∈x+D,Y-kx+D,X和 是R的子空间.设f:丑→Y由下式给出:f(,)=(a,mm 显然∫是连续的满射,它决定连续的双射f:/~rF,但f不 是同胚.事实上,令 U,-{0el< 0.-{(,m)∈F2|l< L a 图1.1
§1.2连续映射 95 则U一h∈xU是x的开子集,m(U)是x/~r的开子集.但 f(U)-f(U)-kz+Un-不是Y的开子集(原点是U的 聚点,但在0中).因此X的商空间x/~r虽然是由X将子集 {0}×z+捏成一点丽得,似乎与Y相同.但实际上它们并不同 胚 125*收敛性 现在将数学分析中序列和收敛的概念推广到拓扑空间.我们 将看到,一方面序列收敛不足以刻划连续性等概念,另→方面, 般拓扑空间中序列的收敛有一些不同于数列收敛的性质. 189定义设D是一个集合,≥是D上的一个关系满足 (D1)对任意a∈D,有a≥a; (D2)对任意a,B,y∈D,若&≥,B≥y4则有a≥ (D9)对任意a,∈D,存在γ∈D,使得γ≥a,y>B,则称 (D,≥)是一个有向集,简记为D.≥称为D上的一个定向 例如实数集R按照大于或等于关系成为一个有向集.任意 集合Ⅹ的子集全体D=2x按包含关系成为一个有向集即U≥ 当且仅当Ucv 1.40定义设D是一个有向集,x是一个集合,ACx,映 射N:D→A称为A中的网.对a∈D,记M(a)为。记映射N 为{n|a∈D},筒记为{axa}.当D是自然数集按“大于或等于” 关系所成的有向集时,网即为普通的序列{at∈Z+} 141定义设{aa∈D}是拓扑空间x中的网,∈x.如 果对的任意邻域U,存在a∈D,使得当B∈D,B≥a时,∈ U,则称网{za}收效于c,记为a>a,当网{an}收敛于唯一的 点a时,称是网{a}的极 显然,网的收敛概念是序列收敛概念的推广,关于序列收敛 的部分性质可予推广 14定理设A是拓扑空间x的子集,∈x.则z∈互的 充要条件为;在A中存在收敛于a的网
36 第一章点集拓扑 证明必要性.由邻域系的性质,的邻域系,(c)按集合 的包含关系成为有向集.设z∈互,则对任意U∈(a),有 U门A≠.任取∈UnA,则{c|U∈(a)}是A中的网, 且 允分性.设A中的网{ala∈D}收敛于则对m的任意邻 域U,存在∝∈D,使得当β≥a时,∈U、于是c∈U∩A,即 U∩A≠,从而《∈互.【 1.4定理映射∫:X→Y在∈x连线的充要条件为:对 X中任意收敛于a的网{aa∈D}y中的网f(a){a∈功收 敛于∫(am 证明必要性.设f在m连续,则对任意∈(f(a),存 在U∈(a),使得∫(U)cV.由ax>,存在a∈D,使得当 β≥a时,g∈U,从而∫(a)∈V,因此∫(za)→f(a) 充分性,设∫在a点不连续则存在∈^(f(c)),使得对 任意U∈(a),∫()\y≠.于是可取v∈U(V),则x 中的网{收敛于a,但f(a)中V,网{f(a)}不收敛于f(a) 与假设条件矛盾.因此f在点连续.【 下面举例说明,拓扑空间中网的收敛不同于数列收敛,以及用 网代替序列的必要性 【例订设x是不可数集是可数补拓扑,即50-1, lo是x的可数子集}.我们将指出,存在叫∈x,Acx,使 得叫∈互,但A中没有收敛于的序列 首先,设{an是x中收敛于∈x的序列,则必存在正整 数N,使得当第>N时,n.事实上,O-{n∈z}是 可数集其补集U一xO是c的开邻域,由x1→>存在正整数 N,使得当m>N时,∈U,即咔O叫a其次令A-X {ao},则必有∈互.事实上对c的任意开邻域U,由xl(U A)-(xU)U(X\A)-oU{ao}是可数集可知,U∩A唤师,∞∈ A.但根据上面讨论,A中却不存在收敛于的序列 迭而,设Y是集合￡上取离散拓扑所得的拓扑空间.∫