8工.拓扑空间 是开集.由基的定义,2°自然满足 充分性.设团满足定理条件的子集族.作团中成员各种 可能的并集,其全体记为.易证了满足开集族的性质(O)与 (O2).对于(O3),设U,U∈,当U1∩U2=时,显然U1∩ U2∈;当U1∩乙2≠國时,对任意∞∈U1nU2,有m∈U1x∈U2 由的作法,存在B,B2∈3,使得∈B1CU1,∈B2CU,从 而x∈B1「BCU1∩U,由条件2°。存在B∈团使得a∈BC B1∩B2CU1nU2,因此,U1nU=U∈01n,B4∈ x的子集族如果能成为X上:某个拓扑的基,我们也 简称团是x上的一个基, 称为由纫生成的拓打、显然, 这样的拓扑是唯一的, 上面我们由基通过并集运 算生成拓扑.可以更进一步由 个比基更“小”的子集族,通 过有限交运算生成基,进而生 成拓扑 1.阻1定义设(x,)是 拓扑空间,是的子族.如 图16 果中有限多个成员的交集全体构成的基,则称夕是拓扑 的子基,称是由生成的拓扑 换言之,c罗是子基,当且仅当对X中任意开集U,以及 U中任意点a,存在S1,…,8∈界使得a∈1n…08CU. 在实直线R上,子集族{(a,+∞),(-∞,a)a∈R}是欧 氏拓扑的子基在欧氏平面R上,水平的和竖直的无限带状开区 域全体是欧氏拓扑的子基(图1.6) 12定理x的子集族y如果满足X=Uge,则存在 唯一的拓扑刃,以为子基 证明中有限个成员的交集的全体所成的x的子集族记 为.显然X=山BB,且对任意B1,B2∈团,由团的作法
第一章点集拓扑 B1∩B2仍是中有限个成员的交集,即B1nB2∈‰.由定理 120,存在拓扑买,以为基,以为子基.由基和子基的定 义,绺和刃分别由!和团唯一决定.■ 易证是所有包含的拓扑的交集,即包含的最粗拓 扑 类似地,对于邻域系有 1器8定义设x是拓扑空间,c∈X,(a)是邻域系(a) 的子族.如果对任意M∈(m),存在B∈团(m),使得BCN, 则称(u)是a的局部基 在度量空间(x,0)中,({a(1m)m∈z}是m的局部 基 1以命题设x是拓扑空间,c∈: 1)若团是基,则团()={B∈闭|∈B}是m的局部 (2)若团(m是北的局部基,Acx,则∈的充要条件 为:对所有B∈绍(a),B∩A≠师, 证明留给读者 §1.2连续映射 连续性是数学中最基本的概念之一.在数学分析中,首先讨 论了实直线上的连续函数而后又推广为平面上以至第维空间的 (多元)连续函数。在拓扑空间中有“邻域的概念从而同样可以 讨论两个拓扑空间之间的连续映射.本节首先给出连续映射的定 义进而给出比连续映射要求更高的拓扑映射(即同胚)的定义,以 及它们的一般性质.至此,空闻的拓扑性质以及拓扑学的任务就 可以精确表述了。本节最后讨论由于对某些特定映射的连续性要 求而产生的构造新的拓扑空间的方法,例如积空间商空间,也包 括以前讨论过的子空间的概念
§王2连续映射 1.2.1连续映射 12定义设Ⅹ和y是拓扑空间,fX→Y是映射,a∈ x.如果对f(a)的任意邻域N,存在o的邻域M,使得f(M)c N,则称∫在点连续,如果∫在X的每一点都连续,则称∫是 Ⅹ到Y的连续映射,简称∫连续 我们从开集、闭集、闭包、基和子基等不同角度来刻划连线 性 1%8定理设X和Y是拓扑空间,:Ⅹ→Y是映射,则下 列诸条件等价: 1°∫连续; 2°对Y的任意开集V,f1(V)是的开集 3°对Y的任意闭集F,f1(F是的闭集; 4对任意ACx,f(④)Cf(4); 5°设团是Y的基,对任意B∈团f(B是x的开集 6°设y是Y的子基对任意S∈,∫(S)是x的开集 证明1°=2°.设V是Y的开集.任取a∈f(V),则V 是∫(∞)的邻域由∫的连续性,存在的邻域M,使得f(M) V,即m∈Mcf-(V).因此f1(V)是开集; 2°=1°,对任意a∈,设N是∫(0)的邻域,则存在Y的开 集V,使得f(∞)∈VcM.由2°,M=f(V)是开集,且包含吃 因而,M是的邻域,且∫(M)CVcN,即」在a点连续; 2°>8°.由f-1(Y\4)=XV1(A)直接可得 8°→4.由fA)cf(A得ACf-1((A).由8°,闭集八) 的原象f(f(A)是闭集,因此,Acf1(f(A),即f(A)c f(A); 4°=>8.设F是Y的闭集.由4,再利用∫1(F)CB可 得∫(f()C打(∈F-,即厂C一1(F).因此, ∫1(F是闭集; °,5°和6°的等价性的证明留给读者
第一章点集拍扑 1x7命题设∫:X→Y,:Y→是连续映射,则复合映射 gf:x→也连续. 设X,Y是拓扑空间,3∈Y,映射:Xy由(x)-y 如∈X)给出,称为常值映射,c是连续的,因为若V是Y的开 集则 (V) x当∈V时 p当骀日V时 是开集 设A是X的子空间,包含映射:A->X是连续的.因为若 U是X的开集,则由子空间拓扑,$1(U)=U∩A是A的开集 另一方面,子空间拓扑是使包含映射连续的A上的最粗拓扑 连续映射∫x-Y在子空间ACx上的限制映射f4:A→ Y是连续的.因为4= 证明映射连续性的-种常用方法是将映射分解成连续映射的 复合, 下面两个例子研究度量空间之间的映射的连续性 【例1】设x和Y是度量空间,八x→F是映射,∈X 则∫在如点连续(定义1.25的意义下)的充要条件为:对f(a)的 任意球形邻域B(f(∞),e),存在o的球形邻域B(a,8),使得 ∫(B(o,8))cB(f(∞),B).这就是“8-”说法.■ 【例2】度量空间(x,可)中两个子集A和B的距离定义为 a(A,B)=inf{d(a,b)|a∈A,b∈B 特别地点m到集合A的距离定义为a(,A)=d({叶,A).对 固定的A,d(a,A)是如的连续函数.为此只要证明 id(al, A)-d(aa, A)I<c(a1, s) 事实上对任意a∈A, d(ax,a)≤以(a,m)+a(a,a), 于是 d(a1, A)-inf d(ai, a)<d(ai, 2a)+inf d(aa, a) a∈A a(a,a2)+(m2,A)
812连续映射 或 d(a1, A)-d(as, a)<d (ai, aa 交换跣,a2就得到所要证明的不等式.■ 度量空间的闭集、闭包等都可用距离函数来描述.例如 A={∈Kid(a,A)=0 事实上,若d(∞,A)=0,则对饪意8>0,存在y∈A,使得(a, g)<8,即B(m,8)∩A≠,如∈互.反之,若d(a,A)=8>0,则 B(,2)4-于是叫x.由此可见,若P是x的闭集 aq,则d(a,F)>0 构造连续映射或证明给定映射连续性的一种常用方法是利用 下述定理 1器3定理(拼接引理)设是拓扑空间,{X∈4是x 的一族子集,Ⅹ{人∈AX.若对λ∈A,∫xⅩ2→>Y是连续映射, 且对λ,∈A,c∈nx有f(a)=fn(a).此时定义:X- Y如下:对任意c∈x,当∈KA时,∫(a)=f(x).则当下列条 件之一满足时∫连续 1°所有x是X的开子集 A是有限集,且所有x,是X的闭子集 证明我们来证明1°的情况.设v是Y的任意开子集,则 fx1(y)是x的开子集,由1°,也是星的开子集。另一方面,不 难验证 f-()-UeAfav) 因此,∫1()是Ⅹ的开子集,∫连续.■ 【例8】设R一A∪B其中A=[0,∞),B=( ∫:A-R和92B→R分别由∫(a)一和9(a)--给出.它们可 拼接成实直线R上的连续函数(a)≌|叫 182同胚拓扑性质 129定义设x和F是拓扑空间,∫:R→是映射,如果 ∫是连续的双射,且∫1也连续,则称∫为同胚(或拓扑变换).这