第一章点集拓扑 意∈A,存在N∈4(a),使得NCA 证明必要性.设A是开集,则对任意如∈A,取U=A,就 有U∈4(a),UCA. 充分性,对任意c∈A,设有N∈,(),NCA.进一步 可假定M是开集,于是A=L=ANV是开集.■ 由此可见,开集的特征为:它是其中每一点的邻域 类似于闭集那样,也可以从邻域系出发来定义拓扑空间 1.8定义设A是拓扑空间x的子集,包含A的所有闭集 的交集称为A的闭包,记作互或C1A 由闭集的性质,互是闭集且如果F是闭集,ACF,则由Z 的定义,五CF,也就是说互是包含A的最小闭集,因此,A是 闭集的充要条件为AcA或互=A 由下面定理可知,A的闭包由任意“接近”A的点组成 19定理m∈互的充要条件为:对任意N∈(a),有N∩ A≠ 我们证明它的等价命题:∈x\互的充要条件为:存在N∈ (m),使得M∩A=,即McX\A 证明必要性.设∈X\A,由团是闭集,x\才是开集,且 (x\A)∩A=⑨,取N一X\互即可 充分性.设∈N∈(a),使得Ncx\A.由邻域的定义, 不妨设N是开集,于是ACx\M,且X\是闭集,必有ACX N,从而a∈NCX互. 闭包的性质可概括如下: 1.10定理设Ⅹ是拓扑空间.A,B是X的任意子集,则 有: (K1)一 (K)Ac五; (Kaya (K4)AUB-互UB 证明(K1)~(K)由定义直接可得.今证(K)
1工拓扑空间 因ACA,BCB,故A∪B是包含AUB的闭集,从而 AU.BCAUB;另一方面因AUB是包含A和B的闭集,故AC AUB, BCAUB,从而A∪豆cAUB.于是AUB=AUB.■ 从(K4)容易证明:若ACB,则AcB 对X的任意子集,唯一地确定其闭包,这就给出了映射O 2x,称为闭包运算,类似于闭集和邻域系那样,也可从闭包 出发定义拓扑空间:设x是一个集合,O22x→>2x是映射,以A 记1A,如果它满足定理1.10中的四条性质,则在上存在唯 一的拓扑使得在这拓扑下任意子集A的闭包即为01A.条 件(K1)~(K4)称为 Kuratowski闭包公理 11定义设A是拓扑空间x的子集,物∈X.如果对任 意N∈(),有N∩(A\{a})≠,则称a为A的聚点,A的 聚点组成的集合称为A的导集,记为A'. 由定义直接可得A=AUA 在实直线R上,对子集Z和Q,有 b, Z c=, ZR 若 2 则 A={0},互=10,1, 1 2 11定义设A是拓扑空间又的子集,包含于A中的所有 开集之并集称为A的内部记为A或IntA,其中的点称为A的 内点, 由开集的性质,A是包含于A中的最大开集由 De morgan 公式易得内部与闭包的关系 X\=XA 进而可由闭包的性质得到内部的相应性质.例如由定理1,9可 118定理c∈A的充要条件为;存在N∈(a),使得
第一章点朱拓卦 NCA. 114定义设A是拓扑空间x的子集,A的闭包和X\A 的闭包的交集∩x\A称为A的边界,记为丑dA,A的边界 中的点称为A的边界点 在实直线R上阻Z〓Z,BQ=R,Bd[a,b)={,b}. 我们强调指出,子集的闭包、内部和边界,仅当集合上有了拓 扑成为拓扑空间后才有意义,且依赖于空间的拓扑结构 115定义设D是拓扑空间X的子集,若D一X,则称D 是X的稠宏子集;存在可数的稠密子集的拓扑空间称为可分的 实直线是可分的.例如Q是它的可数稠密子集.但(R,D 不可分,因为R在离散拓扑下的稠密子集仅有本身,它是不可 数的 1.16定义设A和B是拓扑空间x的子集若BC,则 称A在B中稠密.若A=A’,则称A是完全集.若In-, 则称A是无处稠密集.可数个无处稠密集的并集称为第一范嗨 集,否则称为笫二范畴集 若拓扑空间x中任意可数个稠密开集的交集仍是x的稠密 子集则Ⅹ称为 Baire空间 在实直线上,有理数集和无数集都稠密,而整数集无处稠 密 作为实直绂的子空间,@是第一范畴的,但不是 Baire空间 【例】anor集在实直线上令 Ao=[0,1,Aa 3+13k+ 0=∩A 称为 Cantor集.可以证明它是不可数的无处稠密的完全集 1.18子空间 设(x,)是拓扑空间,A是X的子集,由上的拓扑了
1.L拓扑空间 15 可自然地导出A的拓扑A,使得拓扑空间(4,OA)与(X,男) 有极为密切的关系,这就是下闻的子空间的慨念 117定义设(X,)是拓 扑空间,ACx,A的子集族∥A= {AnUU∈}是A上的拓扑,拓 ∈ 扑空间(乱,4)称为(X,须)的子 空间,升A称为丌在A上的子空间 拓扑(或桐对拓扑) AnU∈男 容易验证刃A确是A上的拓 扑.以后凡讨论拓扑空间中子集的 拓扑时,总是指子空间拓扑例如欧 图1B 氏空间R中的球面-{a∈R-1}就是作为R的子空间 子空间是构造新拓扑空间的一种常用方法 设(A,4是(x,刃)的子空间,如果A的子集B是(x, 的开集,则必是(4,A)的开集.反之不一定成立.例如取 R上的欧氏拓扑,它在R一{(,y)∈y=0}上导出子空间拓 扑.此时集合B={(x,y)∈R|y-0,国<<b是绍中的开集, 但不是R中的开集.类似地,关于子空间的闭集、闭包、内部等并 不总是与关于全空间的相应集合一致.我们只给出下面的命题, 更细致的讨论留给读者 118定理设(A,男A是()的子空间,BCA,则 (1)B是(A,的闭集的充要条件为:存在(X,)的闭 集F,使得B-A∩F.特别地,若A是x的闭集,B是A的闭 集则B必是Ⅹ的闭集 ()若以(B)A与(B)A分别记B关于子空间(A,%A)的闭 包与内部,则有 (B)A=B∩A;B=(BA∩A.■ 关于开集相应于上面定理中(1)的结论正是子空间拓扑的定 义。 在实直线的子集A=[0,1上,相对拓扑的开集除空集与全
第一章点集拓扑 空间外还有形如(,b),[0,b),(,1的区间以及它们的并集, 其中a,b∈(0,1) 1L.4基子基局部基 对于线性空间,一组基确定后任何向量均可由这组基线性表 出.对于度量空间,一点处的所有球形邻域决定了这点附近的结 构,而整个空间的所有球形邻域则决定了整个空间的结构.与此 相类似,要确定一个拓扑必须给出所有开集(或闭集),要确定 点附近的拓扑结构,必须给出这点的邻域系,这往往是不方便的 我们可以给出比开集族或邻域系“小”的子集族以此确定拓扑或 邻域系.于是就有了基、子基与局部基的概念 119定义设(X,刃)是拓扑空间,是的子族,如果 x的任意开子集U均可表示成团中某些成员的并集,则称团为 拓扑的基 换言之,团C是基,当且仅当对X的任意开集U,以及U 中任意点,存在B∈团,使得c∈BcU 度量空间(,d)中球形邻城族{B(a,)∈Ⅹ,∈R}就 是度量拓扑的一组基.离散空间X中独点集{{a∈x}是 离散拓扑的一组基并且任何基均包含独点集族 必须指出集合Ⅹ的一个子集族团即使满足X一{B垂B, 也不一定能作为x上某个拓扑的基.例奶 x={a,b,},团={{a,b},{a,c}}. 1.0定理X的子集族团能成为x上某个拓扑的基的充 要条件为: 1°X=∪∈aB; 2°对任意B1,B2∈团,交集B1∩B2能表示为留中某些成 员的并集(换言之对任意a∈B1∩B2,存在B∈团,使得∈BC B1∩B2). 证明必要性,设团是某个拓扑少的基.因为x是开集, 1显然满足,因为中成员是开集对任意B1,B2∈团,B1∩B2