§1.1拓扑空同 n维欧氏空间限是一个度量空间,其度量称为欧氏度量,用 记号|-y=(∑(a1-y)2)1表示和y的距离 设(x,d)是度量空间,c∈,是正实数,X的子集 B(x,T)一{v∈x(m,y)<r 称为点x的半径为r的球形邻域,设x,Y是度量空间,映射f x→F的连续性可用“8-8”方式定义如下 对于x∈丑如果对任意e>0,存在δ:>0,使得 f(B(∞,8)cB(f(∞o),s), 则称∫在幻处连续.当∫在x的每一点都连续时,称∫为连续 映射 设U是X的子集,如果对任意∈U,存在丌>0,使得 B(,丌)cU,则称U为开集,度量空间X中的开集的性质可概 括如下; 1°全空闻x是开集,空集师是开集 任意多个开集的并集是开集 8°有限多个开集的交集是开集 现在我们可以用开集来刻划连续性.设∫:→y是度量空 间之间的映射,首先不难证明:∫连续的充要条件为:对Y,的任 意开集U,∫1(U)是x的开集.其次,虽然度量空间中开集是由 度量导出的,但同一集合上的不同度量可能导出相同的开集.例 如在F中至少可以给出如下三种度量 d2(a,y)=(2(a2-9) do (a, y) mmax|a-y ≤≤№ 它们决定的开集相同这三种度量下的球形邻域如图12(=2) 可见,开集(而不是直接用度量)同祥可以定义映射的连线性, 并且比度量更深刻地刻划了连续性本质.这就提供了推广度量 空间及其连续映射的一条途径:对于一个集合,如果我们规定了
第一章点集拓扑 2(x,0)<8 d1(x,0)< dn(0)< R 图1.2 “哪些子第是开集,使之满足上面关于开集的三条基本性质,就说 这集合具有“空间结构”对于这种第合之间的映射,可以用开集 的原象是开集来定义其连续性,这就导出拓扑空间和一般连续映 射的概念,而开集的三条基本性质则被当作拓扑空间的公理 欧氏空间和度量空间为拓扑空间提供了重要特例和背景 12定义设x是一个集合,郾是x的一个子集族,如果 它满足 (O1)x和属于历; (O2)中任意个集合的并集属于男; (O8)丌中任意有限个集合的交集属于升 则称丌为X上的一个拓扑称(x,所)为拓扑空间,简记为x, 中集合称为开集 度量空间(x,d中由球形邻域按前面的方式定义的开集构 成拓扑,称为度量d决定的度量拓扑,记为少4.今后讨论度量空 间的拓扑时,都是指度量拓扑.特别地,维欧氏空间R的度量 拓扑称为常用拓扑或欧氏拓扑记作.由实分析知道,实直线 上的开集必可表示成互不相交的开区间的并集 例1】设X是一个任意集合令x={x;则(X,r 是一个拓扑空间,它的开集仅是全空间和空集.称为平凡拓 扑 令丌D-2x,即星的子集全体,(x,D)也是拓扑空间,x
81.1拓扑空间 的任意子集都是开集.5D称为离散拓扑. 叮见,问一个多于一个元素的集合上可赋予不同的拓扑.设 男1和是X上的两个拓扑,若刃C,则称拓扑1比 祖(比:细).显然,里和D分别是X上最粗的和最细 的拓扑, 【例2】在实数集R上,令k{R外U{(,∞)|∈R,则 (R,n)是拓扑空间,R称为右拓扑.■ 【例8】设Ⅹ是一个无限集,令F一{,Ⅹ\FF是Ⅹ的 有限子集},则(X,)是拓扑空间,称为有跟补拓扑 设x是一个不可数集,令-{,x\O|O是X的可数子 集}则(x,c是拓扑空间,c称为可数补拓扑.■ 【例4】设X={a,b,0是一个三元素集,X上可以賦予 29种不同的拓扑,下面列举其中九种(图1.3) 平凡拓扑 ,,刘 ∞)(ab)( 离散拓扑 图L8
第一章点集拓扑 n个元素的有限集上可能赋予多少种不同的拓扑,这是一个 尚未解决的问题.■ 然面,并非任意子集族都是拓扑,例如图1.4所示的两个子集 族 图1.4 拓扑空间中开集的性质是由并和交两种集合运算来刻划的 由集论中的 De Morgan公式 xAeA2-∩be(x\A) x∩eAA、=Ue(x\A), 子第和它的补集关于这两种运算是“对偶”的。因此,开集的补集 具有和开集“对偶”的性质。为此引进闭集的定义 18定义设(x,)是拓扑空间,F是x的子集,如果 x\F是开集则称F为这拓扑空间的闭集 注意,拓扑空间的子集可以是既开且闭的,也可以是既不开也 不闭的。 利用 De morgan公式从开集的性质容易推得闭集的性质: 1.4定理拓扑空间的闭集有如下性质 1)全空间和空集是闭集; (Ca)任意多个闭集的交集是闭集; (a)任意有限多个闭集的并集是闭集.■ 我们可以从闭集出发定义拓扑空间;如果在集合Ⅹ上给定 子集族∥满足定理14中的三条性质,则存在x上的唯一拓扑 ,在这拓扑下的闭集族恰是原先给出的事实上,只要令 是中集合的补集构成的子集族即可
§1.1拓扑空间 1.1.2邻域闭包内部边界 在度量空间中,当半径r充分小时,球形邻域B(m,)表示充 分接近x的点集,它在描述连续性和收敛性等概念时是基本的 在拓扑空间中,虽然没有度量但我们仍能用开集来引出邻域的概 念 15定义设x是拓扑空间,∈X,M是x的子集,如果 存在开集U,使得c∈UcM,则称N为φ的邻域,的邻域全体 称为c的邻域系,记作,∥(a) 由定义,包含a的开集都是c的邻域,但邻域不一定是开集. 在实直线上,若∈(a,b),则(a,b),[a,b,(a,b,(a,∞) 等都是m的邻域但[,b),(a,不是a的邻域 在平凡拓扑下,任意点的邻域只有全空间;而在离散拓扑下 包含a的任意集合都是G的邻域 邻域系的性质可概括如下 1.6定理设x是拓扑空间任意点∈x的邻域系(a) 有如下性质: (N)(∞)≠且对任意N∈,(a),必有∈M; (N)设M1,N2∈(a),则M1∩N∈(a); (N)设N∈,和(x),NcU,则U∈∥(m) (N)对任意M∈,(a),存在U∈(a),便得UcM,且 对任意y∈U,有U∈(y) 证明留綸读者 这四条性质的意义是:由(N),x的每一点都在它的任意邻 域中;(N2)称为邻域系关于有限交运算封闭:由(Na),包含某点邻 域的集合仍是该点的邻域;由(N),点的邻域也是充分“接近”该 点的其他点的邻域 上面由开集定义邻域,也可以由邻域给出一个集合是开集的 条件 17定理拓扑空闻x的子集A是开集的充要条件为:对任