第0章集合与映射 8.等价关系 定义集合Ⅹ上的关系R是笛氏积XXx的一个子集,若 a,z)∈,记为m1Bm2 1)若对任意c∈X,有mB,则称B是自反的; (2)若对任意,y∈X,aBy蕴涵yB,则称B是对称的; (3)若对任意a,yz∈X,mBy和yB蕴涵4B,则称B是 传递的 自反、对称且传递的关系称为等价关系,等价关系常记为~ 设~是集合Ⅹ上的一个等价关系,m∈,集合{∈x y称为a所属的关于~的等价类,记为[a 命题设B是集合x上的一个等价关系,则{叫]∈X}构 成x的一个分割,即XmU{[叫]∈X且[m]∩[=或[a] [v],,y∈x 以x/~记Ⅹ关于~的等价类所成的集合,称为X关于 的商集合,即x/~={[a]l∈x} 4.映射 定义设X和Y是集合,∫是xY的子集.如果对每个 ∈x,存在唯一的y∈Y,使得(,y)∈则称∫是x到Y的 一个映射记作f:X→Y,()∈∫记作y=f(a).X称为∫的 定义域,F称为∫的值域,集合{(a)|∈星称为∫的象,记作 Im∫.当值域为数域时常称映射为函数 定义设∫:X一y是映射,ACx,Bc,集合 f(A)={f(a)|∈A} 称为A在∫下的象;集合 ∫-1(B)={|f(a)∈B 称为B在了下的原象 定义设∫:X→y是映射若ImfY则称∫是满射;若对 任意g∈Y,f(y)是空集或独点集,则称∫是单射;既单且满的
第0章集合与映射 映射称为双射或一一对应 命题设{A|∈4是x的一族子集{B1|∈M}是Y的 一族子集,厂X→Y是映射则 (1)f(264A2)c∩eaf(A) (2)f(UAEAA =UAeAf (A,); (3)∫1(AB2)=∩eAf1(B-); (4)f1(U∈AB2)=L6A∫1() 命題设∫:x→￥是映射,ACx,BCY,则 )f1(Y\B)=x1(B); (2)若∫是满射,则FVf(A)cf(\);若∫是单射,则 f(X\AcrV(A) (3)Acf1(f(A).当∫是单射时,A=f-1(∫A); (4)f(f1(B)CB.当∫是满射时,f((B))=B. 定义设∫:X→Y和9:y→是映射,f和g的复合映射 g:R→>z定义为gf(a)g(f(∞),c∈.9常简记为 定义设x是一个集合,1xX→x定义为1x(ac)=m,c∈ x,称为X上的恒同映射。设∫:X->是映射,Acx,映射 ∫4A→Y定义为∫A(a)-f(0),a∈A,称为∫在A上的制, ∫称为∫A在Ⅹ上的扩张.特别地,1x|4:A→>X称为包含映射, 也记为4A→>x 设~是集合X上的一个等价关系。映射昕:x→X/~定义 为听(c)一[]称为自然射影 利用映射可定义任意一族集合的笛氏积 定义设{XA∈4是一族集合,它们的笛氏秋是集合{f: A-LkAXλ∈A,f()∈X},记为IAx,其中元素∫常 记为(a)A或(ax),这里a=f() 显然,当A为有限集时,这样定义的笛氏积和前面2中定义 的笛氏积可建立自然的一一对应,囡此两种定义事实上是一致 的
第0章集合与映射 设p∈A,pI3∈Ax2→>x由p(m)2c)=n给出,称为 第风个射影 定义设X,H,2是集合,:->Y,9:Y->,AX-,团 是映射,如果gf=b2X→>Z,则称下面图表可交换: 类似地,如果下面图表中的映射满足9f=q:X→Z,则称此 图表可交换 X q
第一章点集拓扑 什么是拓扑学?通俗地说,当我们研究几何图形的各种性质 时,发现有一类性质,在图形被拉伸”、“扭曲”但不撕破和重迭的 过程中保持不变,不妨将图形想象为具有弹性的橡皮膜,在“ 伸”,“扭曲等变形过程中,原来不同的点仍变为不同的点(一一对 应),原来邻近的点仍变为邻近的点(连续变换),并且变形后邻近 的点是原来邻近的点的象(逆变换连续)这种变形称为“拓扑变 换”或“同胚”,能这样互相变换的图形称为“拓扑等价”的.例如, 圆周可以拓扑变换为长方形四条边组成的几何图形.将圆周切 断,打个结再粘接也是拓扑变换.然而圆周与“8”字形就不是拓 扑等价的.因为要将圆周变成“8”字形,必定将圆周上不同的两 点熔合为同一点 图1士 拓扑学就是研究图形在拓扑变换下不变性质的学科 拓扑学包括点集拓扑学、代数拓扑学等分支,点集拓扑学是 在(anx的集合论和3 rochet, Hansdorff等人工作的基础上发
第一章点集拓扑 展起来的.它起源]将集含论与函数空间的哪究结合起来的想法 点集拓扑学将几何图形看作是点的集合,而且具有某种“空间结 构”,即不是互不相关的一堆点,而是通过捆扎”使点与点之间发 生某种联系,于是导致拓扑空间的概念.在本章中,将给出拓扑空 间和连续映射的定义以及基本性质,研究在一个集合上给出拓扑 的各种方法,以及如上进一步限制的重要空间(如紧空间、连通空 间)的性质等等 点集拓扑学是数学的基础,它在微分方程、几何、概率论、函数 论与泛函分析中都有广泛的应用,其基本思想与处理方法对近代 数学产生深刻的影响 §1.1拓扑空间 1.1.1拓扑开集闭集 下面,我们将%维实欧氏空间记为R{(m,…,mn)4∈R 么=1,…。其中任意两点=(,…,与y-(,…,纠 的距离为 d(a, y)=(2(a-g) 它的基本性质可概括如下:对任意,y,z∈R,有 (D1)d(a,y)≥0,当且仅当c=时d(,g)=0, (D2)a(a,9)哪d(g, (Da)c(x,a)≤(如,y)+d(y,z) 维和2维欧氏空间分别称为实直线与欧氏平面 连续性是数学分析中的一个基本概念。在欧氏空间中,可以 利用距离来描述“邻近”的概念从而可用“8-8”方式来定义连续 性.由此很自然地可以将欧民空间的概念推广 11定义设x是一个集合如果映射以Ⅹx星→尽满足上 述性质(D2),(D2)利(D3),则称(x,d为度蚤空间,简记为x, d称为x上的度量,以(a,y)称为点a与?的距离