、典型例题 內区国回
二、典型例题
王☆对弧长的曲线积分的计算方法练习 解法:化为参变量的定积分计算 解题步骤: r(1)画出积分路径的图形 "(2)把路径L的参数式子写出来 x=p(t,y=v(t),≤tsB c(3)将ds写成参变量的微分式,代入并计算: f(x,p)=9)w(o(+y( 注意:参数大的作为上限β,小的作为下限a 內区国回
x = (t), y =(t), t 对弧长的曲线积分的计算方法练习 解法：化为参变量的定积分计算 解题步骤： （1）画出积分路径的图形； （2）把路径L的参数式子写出来： （3）将ds写成参变量的微分式，代入并计算： = + f x y ds f t t t t dt L ( , ) [ ( ), ( )] ( ) ( ) 2 2 注意：参数大的作为上限β，小的作为下限α
例.计算5x2+pL:x2+y2=ar(a>0) x=2+2cos6, 解L: 22 y=sin日. 0<6<2丌 0 alex JL vx +y ds 兀 m cos0)+(sin g sne)+(7c08)0 a√2(+c0s) d6= cosd 02 2 02 2Jo co OS 2 d6+ -cOs 2 e、d0=2a
1. . 2 2 + L 例 计算 x y ds : ( 0). 2 2 L x + y = ax a 解 == + sin . 2 cos , 2 2 : a y a a x L 0 2 . + L x y ds 2 2 d a a a a a = + + − + 20 2 2 2 2 cos ) 2 sin ) ( 2 sin ) ( 2 cos ) ( 2 2 ( d a a = + 20 2 2(1 cos ) 2 d a = 20 2 2 cos 2 d a d a = + − 2 2 0 2 ) 2 ( cos 2 2 cos 2 2 . 2 = a o x y a a/2
例2计算∫eds,L:由圆周2+y2=a2,直线y=x 及轴在第一象限中所围图的边界。 ds e(2 +∫ead+e OA BO AB A(a,0) HrOA:y=00≤x≤a ty ds e dx 0 OA 四
及 轴在第一象限中所围图形的边界。 例 计 算 由圆周 直 线 x e ds L x y a y x L x y + = = + 2. , : , 2 2 2 2 2 解： + L x y e ds 2 2 B O A(a,0) X Y a a 22 , 22 OA : y = 0 , 0 x a + OA x y e ds 2 2 + + + = + + BO x y AB x y OA x y e ds e ds e ds 2 2 ^ 2 2 2 2 e dx a x = 0 = − 1 a e
ST AB: x=acos t, y=asin,0</ 2 ∫e"= alt、 e AB BO:y=x,0≤x2 B ds e2x.、2dr A 0 BO 中数:「…b=4-+c BO 四
B O A X Y a a 22 , 22 , 4 : cos , sin ,0 ^ AB x = a t y = a t t + ^ 2 2 AB x y e ds , 22 BO : y = x , 0 x a + BO x y e ds 2 2 ( ) a a BO x y e ds e ae 4 2 1 2 2 = − + 故 ： + e adt a = 40 a ae 4 = e dx a x = 22 0 2 2 = − 1 a e