满射、入射、双射 定义8.6设f:A→B, (1)若ranf=B,则称A→B是满射( surjection)的。 (2)若vy∈ran∫f都存在唯一的x∈A使得fx)=y,则称 f:A→B是单射( injection)的。 (3)若∫既是满射又是单射的,则称f:A→B是双射( bijection 的(一—映像(one-to- one mapping)) 说口如果:A→B是满射的,则对于任意的y∈B,都存在∈A 明 使得f(x)=y 口如果∫:A→B是单射的,则对于x1x2∈A且x1≠x2,一定 有f(x1)≠f(x2)。 换句话说,如果对于x1x2∈有有f(x1)=f(x2),则一定有
定义8.6设f:A→B， （1）若ran f＝B，则称f:A→B是满射(surjection)的。 （2）若y∈ran f 都存在唯一的x∈A使得f(x)＝y，则称 f:A→B是单射(injection)的。 （3）若f 既是满射又是单射的，则称f:A→B是双射(bijection) 的(一一映像(one-to-one mapping)) 。 说 明 满射、入射、双射 ❑ 如果f:A→B是满射的，则对于任意的y∈B，都存在x∈A， 使得f(x)＝y。 ❑ 如果f:A→B是单射的，则对于x1、x2A且x1≠x2，一定 有f(x1)≠f(x2)。 换句话说，如果对于x1、x2A有f(x1)＝f(x2)，则一定有 x1＝x2
不同类烈的对应关系的示例 b 3 3 单射 不是函数 b b b 2 ●3 3 d 双射 函数 满射
不同类型的对应关系的示例 a b c 1 2 3 4 a b c 1 2 3 4 a b c 1 2 3 d 4 a b c 1 2 3 d 4 a b c 1 2 3 d 单射 不是函数 双射 函数 满射
例8,4 例8.4判断下面函数是否为单射、满射、双射的,为什么? (1)f:R→R,f(x)=-x2+2x-1 (2)∫:Z→R,f(x)=Ⅶx,z为正整数集 (3)∫:R→z,f(x)=x」 (4)f:R→R,fx)=2x+1 (5)∫:R+→R,mx)=(x2+1)x,其中R为正实数集 分析实数集合上函数性质的判断方法 (1)∫在x=1取得极大值0。既不是单射也不是满射的。 (2)∫是单调上升的,是单射的,但不满射。ranf={ml,ln2,…} (3)∫是满射的,但不是单射的,例如1.5)=12)=1。 (4)∫是满射、单射、双射的,因为它是单调函数并且ranf=R。 (5)f有极小值f1)=2。该函数既不是单射的,也不是满射的
例8.4 判断下面函数是否为单射、满射、双射的，为什么? (1) f：R→R，f(x)= -x 2+2x-1 (2) f：Z +→R，f(x)=ln x，Z +为正整数集 (3) f：R→Z，f(x)=x (4) f：R→R，f(x)=2x+1 (5) f：R+→R+ ，f(x)=(x2+1)/x，其中R+为正实数集。 例8.4 （1）f 在x=1取得极大值0。既不是单射也不是满射的。 （2）f 是单调上升的，是单射的，但不满射。ran f={ln1, ln2, …}。 （3）f 是满射的， 但不是单射的，例如f(1.5)=f(1.2)=1 （4）f 是满射、单射、双射的，因为它是单调函数并且ran f=R。 （5）f 有极小值f(1)=2。该函数既不是单射的，也不是满射的。 分析 实数集合上函数性质的判断方法
8,5 例8.5对于以下各题给定的A,B和f,判断是否构成函数 f:A→B。如果是,说明f:A→B是否为单射、满射和双射的, 并根据要求进行计算。 (1)A={1,2,3,4,5},B={6,7,8,9,10}, =1,8),<3,9,<4,10》,<2,6),<5,9 能构成f:A→B, ∫不是单射的,因为f(3)=/(5)=9, ∫不是满射的,因为7∈ranf (1)A={1,2,3,4,5},B={6,7,8,9,10}, =1,7,<2,6),<4,5>,<1,9,<5,10) 不能构成f:A→B,因为<1,7∈f且<1,9∈f
例8.5 例8.5 对于以下各题给定的A,B和 f，判断是否构成函数 f:A→B。如果是，说明 f:A→B是否为单射、满射和双射的， 并根据要求进行计算。 (1)A＝{1,2,3,4,5}，B＝{6,7,8,9,10}， f＝{<1,8>,<3,9>,<4,10>,<2,6>,<5,9>} 能构成f:A→B， f 不是单射的，因为f(3)＝f(5)＝9, f 不是满射的，因为7ran f。 (1)A＝{1,2,3,4,5}，B＝{6,7,8,9,10}， f＝{<1,7>,<2,6>,<4,5>,<1,9>,<5,10>} 不能构成f:A→B，因为<1,7>∈f 且<1,9>∈f
8,5 (3)A={1,2,3,4,5},B={6,7,8,9,10} =【<1,8,<3,10>,<2,6>,<4,9 不能构成f:A→B,因为dom∫={1,2,3,4≠A。 (4)A=B=R, f()=x 能构成fA→B,且∫是双射的 (5)A=B=R+,八x)=x/(x2+1)(x∈R+) 能构成fA→B,但∫既不是单射的也不是满射的。 因为该函数在x=1取得极大值∫(1)=12,函数不是单调 的,且ran∫≠R+
例8.5 (3)A＝{1,2,3,4,5}，B＝{6,7,8,9,10}， f＝{<1,8>,<3,10>,<2,6>,<4,9>} 不能构成f:A→B，因为dom f＝{1,2,3,4}≠A。 (4)A＝B＝R，f(x)＝x 能构成f:A→B，且 f 是双射的 。 (5)A＝B＝R + ，f(x)＝x/(x2+1)（x∈R+ ） 能构成f:A→B，但 f 既不是单射的也不是满射的。 因为该函数在x＝1 取得极大值 f(1)＝1/2，函数不是单调 的，且ran f ≠R+