从A到B的函数 定义8.3设A,B为集合,如果∫为函数,domf=A,ran/B, 则称∫为从A到B的函数,记作f:A→B。 例如:∫:N→N,f(x)=2x是从N到N的函数, g:N→N,g(x)=2也是从N到N的函数。 定义8.4所有从A到B的函数的集合记作B,读作“B上A” 符号化表示为B=|f:A→B
定义8.3 设A,B为集合，如果 f 为函数，dom f＝A，ran fB， 则称 f 为从A到B的函数，记作 f：A→B。 例如： f：N→N，f(x)＝2x是从N到N的函数， g：N→N，g(x)＝2也是从N到N的函数。 定义8.4 所有从A到B的函数的集合记作B A ，读作“B上A” ， 符号化表示为 B A＝{f | f：A→B} 。 从A到B的函数
例8,2 例8.2设A=[1,2,3},B={a,b},求BM 解答B4={f0,f1,/2,∫,f,f,f后,f}。其中 f0={<1,a>,<2,a>,3,a>}f4={<1,b>,2,a>,3,a> f1={<1,a>,2,a>,3,b>}∫5={<1,b>,2,a>,3,b>} ∫2={1,a>,2,b>,3,a>}∫6={<1,b>,<2,b>,3,a> ∫3={1,a>,2,b>,3,b?}f7={<1,b>,2,b>,3,b>} 口若|A=m,|B|=n,且mn0,则|BA=m" 口当A或B至少有一个集合是空集时: ①A=②且B=,则B=={}。 ②A=且B≠,则B=B={⑦ ③A≠②且B=,则BA==
例8.2 设A＝{1,2,3}，B＝{a,b}，求B A 。 解答 BA＝{ f0 , f1 , f2 , f3 , f4 , f5 , f6 , f7 } 。其中 f 0＝{<1,a>,<2,a>,<3,a>} f 1＝{<1,a>,<2,a>,<3,b>} f 2 ＝{<1,a>,<2,b>,<3,a>} f 3＝{<1,a>,<2,b>,<3,b>} f 4＝{<1,b>,<2,a>,<3,a>} f 5 ＝{<1,b>,<2,a>,<3,b>} f 6 ＝{<1,b>,<2,b>,<3,a>} f 7 ＝{<1,b>,<2,b>,<3,b>} 例8.2 说 明 ❑ 若|A|＝m，|B|＝n，且m,n>0，则|B A|＝n m 。 ❑ 当A或B至少有一个集合是空集时： A＝且B＝，则B A＝＝{}。 A＝且B≠，则B A＝B ＝{}。 A≠且B＝，则B A＝A＝
的数的像和完全原像 定义8.5设函数f:A→B,A三A,B1≌B (1)令f(A1)=()x∈A,称f(A)为A在/下的像(imge)。 特别地,当A1=A时,称f(A)为函数的像 (2)令f1(B1)={x∈A∧(x)∈B,称f1(B1)为B在∫下的完 全原像( presage)。 口注意区别函数的值和像两个不同的概念。 明 函数值f(x)∈B,而函数的像f(A1)B
定义8.5 设函数f：A→B，A1A，B1B。 （1）令f(A1 )＝{f(x)|x∈A1 }，称 f(A1 )为A1在f 下的像(image)。 特别地，当A1 ＝A时，称 f(A)为函数的像。 （2）令f −1(B1 )＝{x|x∈A∧f(x)∈B1 }，称f −1(B1 )为B1在 f 下的完 全原像(preimage) 。 说 明 函数的像和完全原像 ❑ 注意区别函数的值和像两个不同的概念。 函数值f(x)∈B，而函数的像f(A1 )B
访论 口设B≌B,显然B1在∫下的原像∫1(B)是A的子集。 口设A1三A,那么f(A1)三B。 f(A1)的完全原像就是广1((A)。 一般来说,f1y(A1)≠A1,但是A1f1((A1)。 口例如函数f:{1,2,3}→{0,1},满足 f(1)=f(2)=0,f(3) 令A1={1},那么 fyf(A4)=f1yf({1})=f1(0})={1,2 这时,A1是f1《f(A)的真子集
讨论 ❑ 设 B1B，显然B1在 f 下的原像 f -1(B1)是A的子集。 ❑ 设 A1A，那么 f(A1 )B。 f(A1 )的完全原像就是 f -1(f(A1 ))。 一般来说， f -1(f(A1 ))≠A1，但是A1 f -1(f(A1 ))。 ❑ 例如函数 f:{1,2,3}→{0,1}，满足 f(1)＝f(2)＝0，f(3)＝1 令A1＝{1}，那么 f -1(f(A1 ))＝ f -1(f({1}))＝ f -1({0})＝{1,2} 这时，A1是f -1(f(A1 ))的真子集
例8,3 例8.3设f:N→N,且 x/2若x为偶数 f(x) x+1若x为奇数 令A=0,1},B={2},求f(A)和f1(B)。 解答 f(4)=f({0,1)={(0),f(1)={0,2} fl(B)=f({2})={1,4}(因为f(1)=2,f(4)=2)
例8.3 设f:N→N，且 令A＝{0,1}，B＝{2}，求f(A)和 f −1(B)。 / 2 ( ) 1 x x f x x x = + 若 为偶数 若 为奇数 解答 f(A)＝f({0, 1})＝{f(0), f(1)}＝{0, 2} f −1 (B)＝ f −1 ({2})＝{1, 4} (因为 f(1)＝2, f(4)＝2) 例8.3