④代入③得 (x-x1)(x-x2)…(x-x1)(x-x/1)…(x-xn) (x1-x0)(x1-x)…(x1-x1)(x1-x)…(x-xn) X-x =0x 显然l(x)满足{ 1≠
④代入③得 1 2 1 1 0 0 1 1 ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) j j n j j j j j j j j n x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x − + − + − − − − − = − − − − − ( ) ( )( ) ( ) 0 n i i j i i j x x = x x − = − ⑤ 显然 ( ) j l x 满足{ ( ) 1 ( ) 0 j j j i l x l x i j = =
构造插值函数Lx) 定理411设函数y=f(×)在区间[a,b]上的n+1个 互异节点{x上的函数值f(x)=y(i=0,1,…,n, 则一定存在唯一的不超过n次得多项式(x)满足插值 条件 Ln(x)=f(x1)=y(仁0,1,…,n)
构造插值函数Ln (x) 定理 4.1.1 设函数y=f(x)在区间[a,b]上的 n+1 个 互异节点 0 n i x 上的函数值 ( )i i f x y = （i=0，1，…，n）, 则一定存在唯一的不超过 n 次得多项式 ，满足插值 条件 ( ) ( ) Ln x f x y i i i = = ( i=0，1，…，n) L (x) n
证明:构造Ln(x)满足: Ln(x)=f(x1)=y2(i=0,1,2,n) 所以令 L(x=lo(x)yo+G(x)vi+.+ln(x)y
n n n i i i n L x l x y l x y l x y L x f x y i n L x ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) ( ) ( 0,1,2,... ) ( ) = 0 0 + 1 1 + + = = = 所以令 证明：构造 满足：
Ln(xo)=lo(o)yo+l(o)y+.+ln(o)yn=yo Ln(x1)=(x)y+1(x1)y+…+(x1)yn=y Ln(n)=lo(nyo+(ny+.+I,(nyn=y
显然 0 0 0 0 1 0 1 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) Ln x l x y l x y l x y y = + + + = n n 1 0 1 0 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) Ln x l x y l x y l x y y = + + + = n n …….. 0 0 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) Ln x l x y l x y l x y y n n n n n n n = + + + =
因此所求 y=o(x)=In(x)=27,(x)y ∑∏ X-x =0=0(x1-x
因此所求 0 ( ) ( ) ( ) n j j j y x Ln x l x y = = = = 0 0 ( ) ( ) n n i j j i j i i j x x y = = x x − = −