构造插值基函数 引理1设在区间[ab]上有n+1个互异节点(x 如果n次多项式/(x)满足 7(x)={=(4.2) 则 Z, (x)=I X- 4(4.13)
构造插值基函数 引理1 设在区间[a,b]上有n+1个互异节点 ， 如果n次多项式 满足 则 0 n i x 0 1 ( ) { (4.1.2) i j j i i j l x = = 0 ( ) (4.1.3) n i j i j i x x l x = x x − = − l (x) j
证明:求l(x):门次多项式,满足条件 0=l(x0)=l1(x1) 0i≠j 如l(x)满足
证明：求 ( ) j l x ：n 次多项式，满足条件 { 0 1 1 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) j j j j j j j n j j l x l x l x l x l x l x = = = = = = = − + = 即 0 { 1 ( ) j i i j i j l x = = 如 0 l x( )满足0 1 0 2 0 ( ) ( ) ( ) 0 n l x l x l x = = = =
这表明该方程有n个根,设 l(x)=C(x-x1)(x-x2)…(x-xn) 因为 1=b0(x)=C(x0-x1)(x0-x2)…(o-xn) ∴C (x0-x)(x-x2)…(x0-x
这表明该方程有 n 个根，设 0 1 2 ( ) ( )( ) n l x C x x x x x x = − − − ( ) ① 因为 0 0 0 1 0 2 0 ( ) ( )( ) n 1= ( ) l x C x x x x x x = − − − 0 1 0 2 0 1 ( )( ) n C x x x x x x = − − − ( ) ②
②代入①式 (x-x1)(x-x2) I ro -r(x d 0 x一X 1(x0-x1)
②代入①式 1 2 0 0 1 0 2 0 ( )( ) ( ) ( )( ) n n x x x x x x l x x x x x x x − − − = − − − ( ) ( ) 1 0 ( ) ( ) n i i i x x = x x − = −
一般设 1(x)=C(x-x)(x-x)…(x-x)x-xm)…(x-x)③ 因为 1(x,)=C(x1-x)x-x2) x ∴C (x1-x0(x1-x)…(x1-x1:)(x1-x:)…(x1-xn
因为 0 2 1 1 ( ) ( )( ) j j j j j j j j j n l x C x x x x x x x x x x = − − − − − − + 1= ( )( ) ( ) 0 0 1 1 1 ( )( ) j j j j j j j n C x x x x x x x x x x − + = − − − − − ( )( ) ( ) ④ 一般设： 1 2 1 1 ( ) ( )( ) ( )( ) j j j n l x C x x x x x x x x x x − + = − − − − − ( ) ③