由此解线性方程组AX=b就等价于解两 个三角方程: L(x)=b→ 「Ly=b 因此,关键问题在于能否对矩阵A直接进 行LU分解
行 分解。 因此，关键问题在于能否对矩阵 直接进 个三角方程： 由此解线性方程组 就等价于解两 LU A U x y Ly b L U A x b x b = = = = ( )
3.2.2 Doolittle分解 此分解在于如何算出LU的各元素,以n=3为例 12 13 22c 23 21 23 31 32a 33 23 a1;=l y=a,(/=12,3) 由 得l2 由 得l
3.2.2 Doolittle分解 1 1 3 1 3 1 1 1 3 1 3 1 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 2 3 2 2 2 3 1 1 1 2 1 3 3 1 3 2 2 1 3 1 3 2 3 3 2 1 2 2 2 3 1 1 1 2 1 3 1 ( 1,2,3) 1 1 1 , 3 u a a u l l u a a u l l k a u u a j u u u u u u l l l a a a a a a a a a L U n j j j j = = = = = = = = = = 由 得 由 得 ； 时： 此分解在于如何算出 的各元素，以 为例
k=2时:a2=2l42+l2得u 22=a 22 由a23=l213+23得l23=a23 由 1,1,+l 323112 12 223 得l2 32 u. 22 k=3时:由a3=l3l43+223+l3 得 12+l2l 2023
( ) 3 2 3 3 3 3 3 1 1 3 3 2 2 3 3 3 3 1 1 3 3 2 2 3 3 3 2 2 3 2 3 1 1 2 3 2 3 1 1 2 3 2 2 3 3 2 2 3 2 1 1 3 2 3 2 3 2 3 2 1 1 3 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 u a l u l u k a l u l u u u a l u a l u l u l a l u u u a l u k a l u u u a l u = − + = = + + − = + = = + = − = = + = − 得 时：由 由 得 由 得 ； 时： 得 ；
Doolittle分解 若矩阵A有分解:A=LU,其中为单位下 三角阵,U为上三角阵,则称该分解为 Doolittle分解,可以证明,当A的各阶顺 序主子式均不为零时, Doolittle分解可以 实现并且唯
Doolittle分解 ◼ 若矩阵A有分解：A=LU，其中L为单位下 三角阵，U为上三角阵，则称该分解为 Doolittle分解，可以证明，当A的各阶顺 序主子式均不为零时，Doolittle分解可以 实现并且唯一
A的各阶顺序主子式均不为零,即 lk A ≠0(k=1,2,m) k1 kk
◼ A的各阶顺序主子式均不为零，即 0 ( 1,2,... ) ... ... ... ... ... 1 1 1 1 k n a a a a A k kk k k = =