《高等代数》课程教学课件（PPT讲稿）复习 矩阵的秩

第二章矩阵与向量 设m×n矩阵4的行向量组a,a2,am’且 01 01 di a;+kaj A= 地 =B j j am m

第二章 矩阵与向量 1 2 , , 设m n A  矩阵 的行向量组   ， m ，且 1 1 ~ i j i j i r kr j j m m k A B          +                   +     = =                            

第二章矩阵与向量 由 a1=C1 。0.00 a;=(a;+ka;)-kaj am=dm 可知，矩阵A的行向量组可由B的行向量组线性表示， 显然，矩阵B的行向量组可由A的行向量组线性 表示.所以，矩阵A、B的行向量组等价.从而矩阵A、 B的行向量组的秩相同. 同样，可证明矩阵的其他两种初等行变换，也不 改变矩阵的行秩

第二章 矩阵与向量 1 1 ( ) i i j j m m k k         = = + − = 由 可知，矩阵A的行向量组可由B的行向量组线性表示. 显然，矩阵B的行向量组可由A的行向量组线性 表示.所以，矩阵A、B的行向量组等价.从而矩阵A、 B的行向量组的秩相同. 改变矩阵的行秩。 同样，可证明矩阵的其他两种初等行变换，也不

第二章矩阵与向量 定理初等行（列变换不改变矩阵列（行）向量间的线性 关系 3 0 例3设矩阵A= 0 2 -1 5 其列向量 6 0 2 4 %1,a2,0,a,间有线性关系：a4=a1+2C2-43? 矩阵B油矩阵A经过有限次初等行变换得到. 验证B的列向量B,B2,B,B,间也有线性关系 B4=B+2B2-B3

第二章 矩阵与向量 定理 初等行(列)变换不改变矩阵列(行)向量间的线性 关系. 1 2 3 4 4 1 2 3 1 2 3 4 4 1 2 3 1 1 3 0 3 0 2 1 5 6 0 2 4 , , , 2 . , 2 A B A B                     = −       = + − = + − 例 设矩阵 其列向量 间有线性关系： ， 矩阵 由矩阵 经过有限次初等行变换得到 验证 的列向量 间也有线性关系

第二章矩阵与向量 解：对矩阵A作初等行变换如下： 1 3 0 1 3 0 3-61 5+32 A 0 2 -1 5 0 2 -1 5 0 -6 -16 4 0 0 -19 19 3 0 「1 1 3 r-331 0 2 5 0 2 0 2+3 0 -1 0 0 -1

第二章 矩阵与向量 解：对矩阵A作初等行变换如下 ： 3 1 6 1 1 3 0 ~ 0 2 1 5 0 6 16 4 r r A −     −       − − 3 2 3 1 1 3 0 ~ 0 2 1 5 0 0 19 19 r r +     −       − 3 1 ( ) 19 1 1 3 0 ~ 0 2 1 5 0 0 1 1 r  −     −       − 31 2 3 3 1 1 0 3 ~ 0 2 0 4 0 0 1 1 r r r r − +           −