4性质3若级数收敛,则“加括号”后得到的级数也收敛, 反之不然。 证设级数∑a,是收敛的,加括号后得的级数为∑b, 相应的部分和分别为s和sn,注意到后者是前者的子 ⊙列,故 lim s=lim sy
性质3 若级数收敛，则“加括号”后得到的级数也收敛， 反之不然。 证 设级数 是收敛的，加括号后得的级数为 ， 相应的部分和分别为sn和s´n，注意到后者是前者的子 列，故 1 n n a ∞ = ∑ 1 n n b ∞ = ∑ lim lim . n n n n s s →∞ →∞ ′ = g
性质4若级数∑an收敛,则 lim a=0 n→0 证令 则,an=Sn2Sn1,故 liman=lim(S, -m-1)=S-S=0 n→00 n→>00
性质4 若级数 收敛，则 lim 0. n n a →∞ = 1 n n a ∞ = ∑ 证 令 1 n n k k s a = =∑ 则，an=sn-sn-1，故 lim lim( 1 ) 0. n n n n n a s s s s − →∞ →∞ = − = − = g
性质4′如果一般项不趋向于零,则级数发散 例7设级数∑,因 n+1 +1 故级数发散
性质4´ 如果一般项不趋向于零，则级数发散。 例7 设级数 ，因 n 1 1 n n ∞ = + ∑ lim 1, n 1 n →∞ n = + 故级数发散
比较判别法及极限形式 若级数∑中的每一项an≥0.(n=12),则称级数 为正项级数。 设正项级数∑an的部分和为sn,则 S,<S, 即数列(s)是单调上升的。由此得到: 基本定理正项级数∑a收敛台部分和数列有界
比较判别法及极限形式 若级数 中的每一项 ，则称级数 为正项级数。 1 n n a ∞ = ∑ 0,( ) 1,2, n a n ≥ = " 设正项级数 的部分和为 s n， 则 1 n n a ∞ = ∑ 1 1 1 s s ≤ ≤ ≤ " " s ≤ , 即数列 ( ) s n ∞ n =1 是单调上升的。由此得到： 基本定理 正项级数 收敛 ⇔部分和数列有界。 1 n n a ∞ = ∑
4比较审敛法设∑a与∑b是两个正项级数,且 bn,(n=1,2,…) 则:(1)若级数∑b收敛,则级数∑a也收敛; (2)若级数∑a发散,则级数∑也发散 n=1 证(1)设级数∑h收敛,其和为,级数∑4的部分 和为sn,则 即,部分和数列有界,故极限存在。即级数∑a收 敛
则：(1)若级数 收敛，则级数 也收敛； (2)若级数 发散，则级数 也发散。 1 n n a ∞ = ∑ 1 n n b ∞ = ∑ 1 n n a ∞ = ∑ 1 n n b ∞ = ∑ 比较审敛法 设 与 是两个正项级数，且 1 n n b ∞ = ∑ a b n n ≤ = , 1 (n , 2,") 1 n n a ∞ = ∑ 证 (1)设级数 收敛，其和为σ，级数 的部分 和为sn，则 1 n n b ∞ = ∑ 1 n n a ∞ = ∑ , n s ≤ σ 即，部分和数列有界，故极限存在。即级数 收 敛。 1 n n a ∞ = ∑