性质1级数∑an收敛兮其余项级数∑a收敛。 证设级数∑an收敛,记部分和为,级数∑a的部 分和为s,则 m+n 故 lin m+n )=S n→00 n→00 a2=-S k=n+1
性质1 级数 收敛⇔其余项级数 收敛。 1 n n a ∞ = ∑ 1 k k n a ∞ = + ∑ 证 设级数 收敛，记部分和为sn，级数 的部 分和为s´m，则 1 n n a ∞ = ∑ 1 k k n a ∞ = + ∑ m m n n s s s + ′ = − lim lim ( ) . m m n n n m m s s s s s + →∞ →∞ 故 ′ = − = − 即 1 . k n k n a s s ∞ = + ∑ = −
反之,若级数∑a收敛,若记 k=n+1 则有,原级数的部分和为 s +S m+n n 故 lim s =s+lims=s tr n→)00 所以,原级数收敛
反之,若级数 收敛，若记 1 k k n a ∞ = + ∑ 1 , k n k n a r ∞ = + ∑ = 则有，原级数的部分和为 m n n m s s s + = + ′ 故 lim lim . n m n m n n m m s s s s r + →∞ →∞ = + = ′ + 所以，原级数收敛。 g
性质1说明级数的收敛与否与前有限项的取值无关 性质2若∑an,∑bn收敛,则对任意实数kl,级数 ∑(kan+1b,) 收敛,且 ∑(kan+b)=∑kan+∑ n 证设级数∑an的部分和为sn,级数∑b的部分和为 n=1 sn,级数∑(kan+bn)的部分和为sn,则
性质1说明级数的收敛与否与前有限项的取值无关。 性质2 若 ， 收敛，则对任意实数k, l，级数 1 n n a ∞ = ∑ 1 n n b ∞ = ∑ ( ) 1 n n n ka lb ∞ = ∑ + 收敛，且 ( ) 1 1 1 . n n n n n n n n n ka lb ka lb ∞ = = = ∑ + = ∑ ∑+ 证 设级数 的部分和为sn，级数 的部分和为 s ´ n，级数 的部分和为s´´n，则 1 n n a ∞ = ∑ 1 n n b ∞ = ∑ ( ) n n ka lb ∞ ∑ + n=1
Sn=∑({n+b)=k∑a+∑b,=ksn+l Slims"=lim(ks, +1s,)=lims, +lims,, n-o0 n>0 ⊙所以 ∑(kan+b)=∑kan+∑b n=1 性质2说明收敛级数保持线性运算
( ) 1 1 1 , n n n n i i n n n n i i i s ka lb k a l b ks ls = = = ′′ = + ∑ ∑ = + ∑ = + ′ lim lim( ) lim lim , n n n n n n n n n s ks ls s s →∞ →∞ →∞ →∞ ⇒ =′′ ′ + = + ′ 所以 ( ) 1 1 1 . n n n n n n n n n ka lb ka lb ∞ = = = ∑ + = ∑ ∑+ g 性质2说明收敛级数保持线性运算
设级数∑an对级数进行“加括号”运算,则得到一个 新的级数。例如对级数 ∑(-1) 作两项两项的括号运算,新级数为 (1-1)+(1-1)+(-1)+(1-1)+ 该级数收敛,其和为零
设级数 ，对级数进行“加括号”运算，则得到一个 新的级数。例如对级数 1 n n a ∞ = ∑ ( ) 1 1 1 n n ∞ − = ∑ − 作两项两项的括号运算，新级数为 ( ) 1 1 − + (1 1 − +) (1 1 − +) (1 1 − +) " , 该级数收敛，其和为零