第二单元 幂级数
第二单元 幂级数
本单元的内容要点 本单元要点: 1.幂级数及收敛性; 2收敛半径的求法; 3幂级数的运算; 4函数展开成幂级数 5展开式的应用
一、本单元的内容要点 本单元要点: 1.幂级数及收敛性; 2.收敛半径的求法; 3.幂级数的运算; 4.函数展开成幂级数 5.展开式的应用
幂级数及收敛性 设ux)(=1,2,…)均为区间/上的函数,表达式 ∑n(x)=4(x)+l(x)+…+(x)+ 称为函数无穷项级数。若x0∈l,且 ∑n(x)=a4(x)+2(x)+…+u1(x)+ ● 收敛,则称x0为收敛点;由收敛点构成的集合称为收敛 域。在收敛域上得到收敛函数,称为和函数
幂级数及收敛性 设 ui (x)( i=1,2, … )均为区间 I上的函数，表达式 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) n n n u x u x u x u x ∞ = ∑ = + +" " + + 称为函数无穷项级数。若 x 0 ∈ I，且 0 1 0 2 0 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) n n n u x u x u x u x ∞ = ∑ = + +" " + + 收敛，则称 x 0为收敛点；由收敛点构成的集合称为收敛 域。在收敛域上得到收敛函数，称为和函数
特殊地,把形如 ∑an( a +)(x 1 +a1,(x e的函数项级数叫做(xx)的幂级数。当x=0时,上式为 a1x+a2x+……+anx+ 0 对(1)式,作变换仁xx,即得(2)式,故本节主要讨论 (2)的收敛性
特殊地，把形如 的函数项级数叫做(x-x0)的幂级数。当x0=0时，上式为 2 0 0 1 0 2 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n n a x x a a x x a x x a x x ∞ = − = + − + − + + − + ∑ " " ( 1 ) 2 0 1 2 0 . n n n n n a x a a x a x a x ∞ = ∑ = + + +" " + + ( 2 ) 对(1)式，作变换t= x-x0 ，即得(2)式，故本节主要讨论 (2)的收敛性
例1幂级数 =1+x+x2+…+x 由等比级数的收敛性,易知当x<1时,级数收敛,故收 敛域为区间(-1,1)。和函数为 ∑x=1+x+x2+…+x+
例1 幂级数 2 1 1 n n n x x x x ∞ = ∑ = + + +" " + + 由等比级数的收敛性，易知当|x|<1时，级数收敛，故收 敛域为区间(-1, 1)。和函数为 1 . 1 − x 即 2 1 1 1 . 1 n n n x x x x x ∞ = = = + + + + + − ∑ "