第二章极限与连续 §1.数列的极限和无穷大 1.用定义证明: (1) lin n为偶数 其中 n+1 n为奇数 (4) lim x=3,其中 3n+1 n=3k+1(k=1,2,…), 2+ 2.用定义证明下列数列的极限为零: ()m-+1 n+(-1) 10° 1+2+3+ 第1页共11页
第 1 页 共 11 页 第二章 极限与连续 §1. 数列的极限和无穷大 1. 用定义证明： (1) 2 2 3 lim n 2 1 n n → n + = − ； (2) 2 lim n n n → n + = ； (3) lim n n x → = ，其中 1 , 1 , n n n n x n n n − = + 为偶数， 为奇数； (4) lim n n x → = ，其中 3 1 , 1 ( 1, 2, ) 2 , 2 3 n n k n x n k k n n n k n n = + = = + = + + = + − + ， ， . 2. 用定义证明下列数列的极限为零： (1) 2 1 lim n 1 n → n + + ； (2) sin lim n n → n ； (3) lim n n → ； (4) 2 ( 1) lim n n n → n + − − ； (5) lim ( 1 ) n n n → + − ； (6) 10 lim ! n n→ n ； (7) lim 1 n n n a → a ( ) ； (8) ! lim n n n → n ； (9) 2 1 2 3 lim n n → n + + + + ； (10) 1 lim 1 n n a a n − → ( + )
3.极限的定义改成下面形式是否可以?(其中“彐”是逻辑符号,表示“存在”.) (1)VE>0,3N>0,当n≥N时,有|xn-a<s; (2)VE>0,彐N>0,当n>N时,有|xn-a|≤E; (3)VE>0,彐N>0,当n>N时,有|xn-a|<Ms(M为常数) 4.用定义证明: (1)若 lim a=a,则对任一正整数k,有 lim a=a; (2)若iman=a,则 lim a, I=|a|.反之是否成立? (3)若 lim a=a,且a>b,则存在N,当n>N时,有an>b (4)若 lim a=a,且a,>0,则lmv,=a 5.设xn≤a≤yn(n=12,…),且lim(yn-xn)=0,求证: lim 6.利用极限的四则运算法则求极 (1)lim 3n3+2n2-n+1 (2)im(2)+3 (4)lim(√+√2+…+√10) 7.证明:若{an},{bn}中一个是收敛数列,另一个是发散数列,则{an±bn}是发 散数列:又问{a}和{a}(2≠0是否也是发散数列?为什么? 8.设 lim a=a,证明 (2)若a>0, 则lim 9.求下列极限: 第2页共11页
第 2 页 共 11 页 3. 极限的定义改成下面形式是否可以？（其中“ ”是逻辑符号，表示“存在”.） (1) ， N 0 ，当 n N 时,有 n | - |< x a ； (2) ， N 0 ，当 n N 时,有 n | - | x a ； (3) ， N 0 ，当 n N 时,有 n | - | x a M （ M 为常数）. 4. 用定义证明： (1) 若 lim n n a a → = ，则对任一正整数 k ，有 lim n k n a a + → = ； (2) 若 lim n n a a → = ，则 lim | n n a a → = .反之是否成立？ (3) 若 lim n n a a → = ，且 a b ，则存在 N ，当 n N 时，有 n a b ； (4) 若 lim n n a a → = ，且 0 n a ，则 lim n n a a → = . 5. 设 ( 1, ) n n = x a y n ，且 lim ( ) 0 n n n y x → − = ，求证： lim n n x a → = ， lim n n y a → = . 6. 利用极限的四则运算法则求极限： (1) 3 2 3 2 3 2 1 lim n 3 2 n n n → n n + − + − + ； (2) 1 1 ( 2) 3 lim ( 2) 3 n n n n n→ + + − + − + ； (3) 1 1 2 lim 1 1 4 4 n n n → + + + + + + ； (4) lim ( 1 ) n n n n→ + + + . 7. 证明：若 an ， bn 中一个是收敛数列，另一个是发散数列，则 a b n n 是发 散数列；又问 a bn n 和 ( 0) n n n a b b 是否也是发散数列？为什么？ 8. 设 lim n n a a → = ，证明： (1) [ ] lim n n n a a → n = ； (2) 若 0, 0 n a a ，则 lim 1 n n n a → = . 9. 求下列极限：
(1) √2 )cos n: (7) lim( (8)lim[(n+1)"-n"],0<a<1 3·5·“(2n-1) 2·4·6…(2n) n (12)lin 10.利用单调有界原理,证明Imx.存在,并求出它: (1)x1 (2)x=√c>0.x=√e+x,n=2,3, (3)xn=(c>0) l,2, 11.设 证明 (1)lmna4+a2+…+an=a:(又问,它的逆命题成立否?) 0 a a2 12.应用上题的结果证明下列各题: 第3页共11页
第 3 页 共 11 页 (1) 1 1 1 lim ( ) 1 2 ( 1) n→ n n + + + + ； (2) 2 2 2 1 1 1 lim ( ) ( 1) (2 ) n→ n n n + + + + ； (3) 2 2 2 1 1 1 lim ( ) 1 2 n n n n n → + + + + + + ； (4) 2 1 3 2 1 lim ( ) 2 2 2n n n → − + + + ； (5) 1 lim (1 ) cos 2 n n n → − ； (6) lim n→ n − ； (7) lim n n → ( ) ； (8) lim [( 1) ] n n n n n → + − ， 0 1 a ； (9) lim n 2 n → n − ； (10) 1 1 lim 2 n n n → n ( − ) ( ) ； (11) 1 lim n n n → ！ ； (12) lim ln n n n n → . 10. 利用单调有界原理，证明 lim n n x → 存在，并求出它： (1) 1 2 1 2 , 2 , 2, n x x x n − = = = ； (2) 1 1 , , 2, n n x c x c x n − = = + = ； (3) n n c x n = （c > 0） ！ ； (4) 1 0 1 , 1 , 1, 1 n n n x x x n x − − = = + = + . 11. 设 lim n n a a → = ，证明： (1) 1 2 lim n n a a a a → n + + + = ；（又问，它的逆命题成立否？） (2) 若 0 n a ，则 1 2 lim n n n a a a a → = . 12. 应用上题的结果证明下列各题：
(1) lin 2) limNa=1(a>0); (3) lim/n=l Nn (5)m1+2++…+=1 (5)若lmm=a(bn>0),则 limi ba=a 13.(1)两个无穷大量的和的极限如何?试讨论各种可能性? (2)讨论无穷大量和无穷小量的和、差、商的极限的情形 (3)讨论无穷大量和无穷小量的乘积可能发生的各种情形 14.利用 e,求下列极限 §2.函数的极限 1.用极限定义证明下列极限: 31 (2) lir x-1 (3) lim- (4)m(x-2)x-)=0 x→l 第4页共11页
第 4 页 共 11 页 (1) 1 1 3 lim n n → n + + + + = ； (2) lim 1 ( 0) n n a a → = ； (3) lim 1 n n n → = ； (4) 1 lim 0 n n n → = ！ ； (5) 1 lim n n n n → + + + + = ； (5) 若 1 lim ( ) n n n n b a b b + → = ，则 lim n n n b a → = . 13. (1) 两个无穷大量的和的极限如何？试讨论各种可能性？ (2) 讨论无穷大量和无穷小量的和、差、商的极限的情形； (3) 讨论无穷大量和无穷小量的乘积可能发生的各种情形. 14. 利用 1 lim 1 n n e → n + = ，求下列极限： (1) 1 lim 1 n n→ n − ； (2) 1 lim 1 1 n n→ n + + ； (3) 1 lim 1 2 n n→ n + ； (4) 2 1 lim 1 n n→ n + . §2. 函数的极限 1. 用极限定义证明下列极限： (1) 2 1 3 1 lim x 9 2 x →− x − = − ； (2) 2 3 3 1 lim x 9 6 x → x − = − ； (3) 1 1 lim 2 1 x x x → − = − ； (4) 1 ( 2)( 1) lim 0 x 3 x x → x − − = − ； (5) 2 2 lim 5 3 x x → + = ； (6) 2 1 ( 1) 1 lim x 1 2 x x → x − = − ；
(9)1m+x=∞ (10)lim 2.证明:若imf(x)=A,则iml(x)=|4|,但反之不真 3.用极限的四则运算法则求下列极限: (1) lim x-0 x2-1 (2) lim x→12x2-x-1 +x-2 x2-8x+15 (n,m为正整数); (8)li 2 4.求下列极限: +√x 4)lim(√x2+1-x): x+√x+ 第5页共11页
第 5 页 共 11 页 (7) 2 3 lim x 9 x → x = − ； (8) 1 lim 1 x 2 x → x − = + ； (9) 2 lim x 1 x x → x + = + ； (10) 2 2 5 lim 1 x 1 x → x − = − . 2. 证明：若 0 lim ( ) x x f x A → = ，则 0 lim | ( ) | | | x x f x A → = ，但反之不真. 3. 用极限的四则运算法则求下列极限： (1) 2 2 0 1 lim x 2 1 x → x x − − − ； (2) 2 2 1 1 lim x 2 1 x → x x − − − ； (3) 3 2 3 0 ( 1) (1 3 ) lim x 2 x x → x x − + − + ； (4) 2 1 lim x x x x → − ； (5) 3 1 2 lim x 3 x → x + − − ； (6) 2 2 3 5 6 lim x x x → x x − + − + ； (7) 1 1 lim 1 n m x x → x − − （ n m, 为正整数）； (8) 4 1 2 3 lim 2 x x x → + − − 4. 求下列极限： (1) 2 2 1 lim x 2 1 x → x x − − − ； (2) 5 7 lim 2 x x x x →+ − + ； (3) 2 lim ( 1 x x x →+ + − ) ； (4) 2 lim ( 1 x x x →− + − ) ； (5) 2 2 3 lim x x x → x + ； (6) 2 sin lim x 4 x x →+ x − ； (7) cos lim x x x →− x − ； (8) lim x 1 xxx →+ x + + +