《线性代数》课程教学资源（PPT课件讲稿）第2章 线性代数方程组

第2章线性代数方程组 1Gaus消去法 213主元 Gauss消去法可以顺利执行的条件 ≠0 这里,将a称为第步的主元 若在 Gauss消去过程中出现以下两种情况 (k-1) 0 (2)|ak|<<aki=k+1…,n 则 Causs消去过程中会出现问题

第2章 线性代数方程组 2.1 Gauss消去法 2.1.3 主元 Gauss消去法可以顺利执行的条件 ( 1) 0 k akk −  若在Gauss消去过程中出现以下两种情况 ( 1) (1) 0 k akk − = 则Gauss消去过程中会出现问题 (2) 1,..., a a i k n kk ik  = + ( 1) k kk a k 这里 − ,将 称为第 步的主元

第2章线性代数方程组 1Gaus消去法 213主元 第1种情况下 x2+x3 2x1+x 2x+x-x=1交换第行和第行,5+x1=2 4x,-xn+x2=0 4x1-x2 0 1)若A非奇,则可以通过交换方程组中各方程的行序可 以继续执行消去过程 性质当系数矩阵非奇时在消去过程中有 a-)≠0 (2若A奇异,则不能继续执行消去过程

第2章 线性代数方程组 2.1 Gauss消去法 2.1.3 主元 第1种情况下 (1)若A非奇，则可以通过交换方程组中各方程的行序,可 以继续执行消去过程 (2)若A奇异，则不能继续执行消去过程 2 3 1 2 3 1 2 3 5 2 2 1 4 0 x x x x x x x x  + =   + − =   − + = 1 2 3 2 3 1 2 3 2 1 5 2 4 0 x x x x x x x x  + − =   + =   − + = 交换第1行和第2行, 0 : ( 1)  k− ak k 性 质 当系数矩阵非奇时， 在消去过程中有

第2章线性代数方程组 1Gaus消去法 213主元 第2种情况下 1032 例:在浮点数系F(05-10,0)下,求解 x 2 0.250001875 真实解为x 0.499998749 按 Gauss消去法为 01000810402000970010000-20 020000*100.30000*100.20000*10 0.10000*10-40.20000.100.10000*10 040000*1060.20000.10 x(000004100.500010°

第2章 线性代数方程组 2.1 Gauss消去法 2.1.3 主元 第2种情况下 1 2 1 (10,5, 10,10) 2 2 x F x      − =           -5 10 2 例:在浮点数系 下,求解 3 真实解为 按Gauss消去法为 * 0.250001875 0.499998749 x   =     6 21 4 1 1 0.20000*10 1 1 1 0.10000*10 0.20000*10 0.10000*10 0.20000*10 0.30000*10 0.20000*10 l − =     ⎯⎯⎯⎯⎯→   4 1 1 6 6 0.10000*10 0.20000*10 0.10000*10 0.40000*10 0.20000*10 −       − − ( ) 0 0 0.00000*10 0.50000*10 T x =

第2章线性代数方程组 1Gaus消去法 213主元 原因若有误差an→ax+6B→B+8 则 -ai-lik(ak +o) 同理B=B4-k5 在消去的过程中误差将会被放大l1倍

第2章 线性代数方程组 2.1 Gauss消去法 2.1.3 主元 原因 则      j j  +      j j  + ij ij ik kj    = − l ( ) ij ik kj = − +    l ij ik kj ik = − −    l l ij ik = −   l ij ij ik 同理    = −l 在 消 去 的 过 程 中, 误 差 将 会 被 放 大l i k倍 若有误差

克服方法,将按绝对值最大的元素交换到主元位置,使 从而前步的误差不再被放大。 10000*1020000*101.1000*10 1行2行 20000*1030000*1020000*10 20000*10.30000*1020000*10 121=50000*10 5 10000*10-420000*10.10000*10 2000110130000*10120000*10 20000*10.10000*10 x=(2500*100.5000010°) 选列主元消去法

克服方法,将按绝对值最大的元素交换到主元位置,使 从而前步的误差不再被放大。 -----------选列主元消去法                ⎯⎯⎯⎯⎯→               ⎯⎯⎯→             −  =  − − 1 1 1 1 1 2 1 .50000 1 0 4 1 1 1 1 1 1 1 1 4 1 1 .20000 10 .10000 10 .20000 10 .30000 10 .20000 10 .10000 10 .20000 10 .10000 10 .20000 10 .30000 10 .20000 10 .20000 10 .30000 10 .20000 10 .10000 10 .20000 10 .10000 10 5 1 2 l 行 行 T (.25000 10 .50000 10 ) ~ 0 0 x =  