第八章向量代数与空间解析几何 由于AB=(2,2,2),AC=(1,2,4),因此 i j k AB×AC=222=4i-6j+2k, 124 于是 Sac=14i-6可+2k1=3/个+(-6)2+2=Va. 例6设刚体以等角速度绕1轴旋转，计算刚体 上一点M的线速度. 解刚体绕1轴旋转时，我们可以用在1轴上的一 个向量w表示角速度，它的大小等于角速度的大小，它 的方向由右手规则定出：即以右手握住1轴，当右手的 四个手指的转向与刚体的旋转方向一致时，大拇指的 指向就是w的方向（图8-25） 设点M到旋转轴1的距离为a,再在1轴上任取一 点0作向量r=O1,并以0表示w与r的夹角，则 a=Irlsin 6. 设点M的线速度为v,由物理学上线速度与角速度间 图8-25 的关系可知，v的大小为 lvl=lwla lwllrlsin 6; 。的方向垂直于通过M点与I轴的平面，即v垂直于w与：又)的指向是使w、 「，符合右手规则.因此有 t=w X r. ·三、向量的混合积 设已知三个向量a,b和c.先作两向量a和b的向量积axb,把所得到的向 量与第三个向量c再作数量积(a×b)·c,这样得到的数量叫做三向量a,b,c的 混合积，记作[abc]. 下面我们来推出三向量的混合积的坐标表示式. 设a=(a,a,a,),b=(b,b,b,),c=(c,c,c),因为 i j k axb a,a,a, b.Bb 20
第二节数量积向量积·混合积 a.a,k 再按两向量的数量积的坐标表示式，便得 [abc]=(a×b)·c a,a.a.a.a,a, a,a,a. =b,b,b. c.c,c. 向量的混合积有下述几何意义： 向量的混合积[abc]=(a×b)·c是这样一个数，它的绝对值表示以 向量a,b,c为棱的平行六面体的体积.如果向量a、b、c组成右手系（即c的 指向按右手规则从a转向b来确定)，那么混合积的符号是正的：如果a、b、c 组成左手系（即c的指向按左手规则从a转向b来确定），那么混合积的符 号是负的. 事实上，设0A=a,OB=b,0C=c.按向量积的 定义，向量积a×b=∫是一个向量，它的模在数值上 等于以向量a和b为边所作平行四边形OADB的面 积，它的方向垂直于这平行四边形的平面，且当α b,c组成右手系时，向量∫与向量c朝着这平面的 同侧（图8-26）：当a,b、c组成左手系时，向量∫与 向量c朝着这平面的异侧.所以，如设∫与c的夹角 图8-26 为a,那么当ab,c组成右手系时，a为锐角；当a、bc组成左手系时，a为钝角， 由于 [abc]=(a×b)·c=laxb1 lelcos a, 所以当ab.c组成右手系时，[abc]为正；当a、b,c组成左手系时，[abc]为负 因为以向量a,b,c为棱的平行六面体的底（平行四边形OADB)的面积S在 数值上等于Ia×b1,它的高h等于向量c在向量∫上的投影的绝对值，即 h IPrjr el lel lcos al, 所以平行六面体的体积 V=Sh la xbllcllcos al I[ab e]l. 由上述混合积的几何意义可知，若混合积[abc]≠0，则能以a、b、c三 向量为棱构成平行六面体，从而a,b、c三向量不共面：反之，若a、b、c三向量 ·21·
第八章向量代数与空间解析几何 不共面，则必能以a、b、c为棱构成平行六面体，从而[abc]≠0.于是有下述 结论： 三向量a、b,c共面的充分必要条件是它们的混合积[abc]=0,即 a,a,a, b,b,b.=0. c.c,c. 例7已知不在一平面上的四点：A(x1,y1,)、B(x2,y2,2)、C(xy,) D(x44,).求四面体ABCD的体积 解由立体几何知道，四面体的体积V等于以向量AB、AC和AD为棱的平行 六面体的体积的六分之一.因而 v=石|[a店A花A 由于 A店=(x-x2-为4- A花=(x-为-1西- AD=(x4-x1y4-1,4-4）, 所以 x2-x13-y12-31 =石%为%马 x4-x1y4-4- 上式中符号的选择必须和行列式的符号一致. 例8已知A(1,2,0)、B(2,3,1)、C(4,2,2)、M(x,y,)四点共面，求点M 的坐标xy2所满足的关系式 解A、B、C、M四点共面相当于Ai、AB、AC三向量共面，这里A= (x-1,y-2,z),AB=(1,1,1).AC=(3,0,2).按三向量共面的充分必要条件 可得 x-1 y-2 111=0. 3 02 即 2x+y-3z-4=0. 这就是点M的坐标所满足的关系式. 22
第三节平面及其方程 习题8-2 1.设a=3i-j-2k.b=i+2j-k,求 (1)a·b及a×b:(2)(-2a)·3b及a×2b:(3)ab的夹角的余弦. 2.设ab.c为单位向量，且满足a+b+c=0,求a·b+b·c+c·a. 3.已知M,(1,-1,2)、M,(3,3,1)和M,(3.1,3).求与M,M、M,M同时垂直的单位 向量 4.设质量为100kg的物体从点M,(3,1,8)沿直线移动到点M,(1,4,2),计算重力所作 的功（坐标系长度单位为m,重力方向为：轴负方向）. 5.在杠杆上支点0的一侧与点0的距离为x,的点P,处，有一与0P成角日，的力F,作 用着：在0的另一侧与点0的距离为x2的点P,处，有一与0P成角8，的力F2作用着（图 8-27).问8，、0，x,名，F,1、F,1符合怎样的条件才能使杠杆保持平衡？ F F 图8-27 6.求向量a=(4,-3,4)在向量b=(2,2,1)上的投影. 7.设a=(3,5,-2),b=(2,1,4),问A与4有怎样的关系，能使得Aa+ub与：轴垂直？ 8.试用向量证明直径所对的圆周角是直角。 9.已知向量a=2i-3+k,b=i-j+3k和c=i-2j,计算： (1)(a·b)c-(a·c)b:(2)(a+b)×(b+c):(3)(a×b)·c. 10.已知O=i+3k,0i=j+3k,求△0AB的面积 ·1山.已知a=(a4,a,),b=(66,6,),c=(c,6),试利用行列式的性质证明： (axb)·c=(bxc)·a=(e×a)·b. 12.试用向量证明不等式： a+a+g√/+6+6≥la,b,+a,b2+a,b,l, 其中a1,42,@,b,b,6为任意实数.并指出等号成立的条件 第三节平面及其方程 一、曲面方程与空间曲线方程的概念 因为平面与空间直线分别是曲面与空间曲线的特例，所以在讨论平面与空 ·23·
第八章向量代数与空间解析几何 间直线以前，先引人有关曲面方程与空间曲线方程的概念. 像在平面解析几何中把平面曲线当作动点的轨迹一样，在空间解析几何中， 任何曲面或曲线都看作点的几何轨迹.在这样的意义下，如果曲面S与三元方程 F(x,y,z)=0 (3-1) 有下述关系： (1)曲面S上任一点的坐标都满足方程(3-1)： (2)不在曲面S上的点的坐标都不满足方程(3-1)， 那么，方程(3-1)就叫做曲面S的方程，而曲面S就叫做方程(3-)的图形 (图8-28). 空间曲线可以看作两个曲面S,S,的交线.设 F(x,y,2)=0 G(x,y.:)=0 分别是这两个曲面的方程，它们的交线为C(图8-29).因为曲线C上的任何点 的坐标应同时满足这两个曲面的方程，所以应满足方程组 [F(x.y.2)=0, (3-2) lG(x,y,2)=0. 图8-28 图8-29 反过来，如果点M不在曲线C上，那么它不可能同时在两个曲面上，所以它的坐标 不满足方程组(3-2).因此，曲线C可以用方程组(3-2)来表示.方程组(3-2) 就叫做空间曲线C的方程，而曲线C就叫做方程组(3一2)的图形 在本节和下一节里，我们将以向量为工具，在空间直角坐标系中讨论最简单 的曲面和曲线 一平面和直线 二、平面的点法式方程 如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的法线向量。容易知 道，平面上的任一向量均与该平面的法线向量垂直. 因为过空间一点可以作而且只能作一平面垂直于一已知直线，所以当平面 ·24