第二节数量积向量积·混合积 a·a=lal2cos0=lal2. (2)对于两个非零向量a、b,如果a·b=0,那么a⊥b;反之，如果a⊥b,那 么a·b=0. 这是因为如果a·b=0,由于1a≠0,1b1≠0，所以c0s0=0,从而0=7，即 a1b:反之，如果a1b,那么0=号，cos0=0,于是a·b=la1b1cos0=0. 由于可以认为零向量与任何向量都垂直，因此，上述结论可叙述为：向量 a⊥b的充分必要条件是a·b=0. 数量积符合下列运算规律： (1)交换律a·b=b·a. 证根据定义有 a·b=lal1b1cos(a,b),b·a=1b1 lalcos(b,a), 而 lallbl=1bllal,cos (a,b)=cos (b,a) 所以 a·b=b·a. (2)分配律(a+b)·c=a·c+b·c. 证当c=0时，上式显然成立；当c≠0时，有 (a+b).c=IcIPrj (a+b), 由投影性质2，可知 Prje(a+b)=Prja+Prj b, 所以 (a+b).c lcl(Prja+Prjb)=lcIPrja+lelPrjb =a·c+b·c. (3)数量积还符合如下的结合律： (Aa)·b=A(a·b),A为数. 证当b=0时，上式显然成立；当b≠0时，按投影性质3，可得 (Aa).b=IbIPrj,(Aa)=IblaPrja=AlbIPrja=(a.b) 由上述结合律，利用交换律，容易推得 a·(Ab)=A(a·b)及(Aa)·(ub)=μ(a·b) 这是因为 a·(Ab)=(Ab)·a=A(b·a)=A(a·b): 15
第八章向量代数与空间解析几何 (Aa）·(ub)=A[a·(ub)]=A[u(a·b)]=A(a·b). 例1试用向量证明三角形的余弦定理. 证设在△ABC中，∠BCA=0(图8-20)， IBCI=a,ICAI=b,IABI=c,要证 c2=a2+b2-2abcos 0. 记CB=a,C=b,A店=c,则有 c=a-b, a 从而 lc=c·c=(a-b)·(a-b)=a·a+b·b-2a·b 图8-20 lal'1b12-2lallblcos (a,b). 由1al=a,lb1=b,lcl=c及(a,b)=9,即得 c=a2+b2-2abcos 8. 下面我们来推导数量积的坐标表示式. 设a=a,i+a,j+a,k,b=b,i+b,j+b,k.按数量积的运算规律可得 a·b=(a,i+a,j+a.k)·(bi+b,j+b.k) =a,i·(b,i+b,j+b,k)+a,j·(b,i+b,j+b,k)+ak·(b,i+b,j+bk) =abi·i+a,b,i·j+a,bi·k+ a,b,ji+a,b,j.j+a,bj.k+ abk·i+a,b,k·j+a,bk·k. 因为i、j和k互相垂直，所以i·j=j·k=k·i=0,j·i=k·j=i·k=0.又因 为i、j和k的模均为1，所以i·i=j·j=k·k=1.因而得 a·b=a,b.+a,b,+a,b. 这就是两个向量的数量积的坐标表示式. 因为a·b=Ia1Ib1cos0,所以当a与b都不是零向量时，有 w流 将数量积的坐标表示式及向量的模的坐标表示式代入上式，就得 a,b,+a,b,+a,b, c0s0= √a,+a,+aB+b+b 这就是两向量夹角余弦的坐标表示式. 例2已知三点M(1,1,1)、A(2,2,1)和B(2,1,2),求∠AMB. 解作向量M及MB,∠AMB就是向量M与M店的夹角.这里，= (1.1.0).MB=(1,0,1),从而 ·16
第二节数量积向量积·混合积 M.MB=1×1+1×0+0×1=1, 1M1=√'+1+0=2,1MB1=+02+1=2 代入两向量夹角余弦的表达式，得 MA.MB mL4Bw12·2号 1 由此得 ∠AMB=于 例3设液体流过平面S上面积为A的一个区域，液体在这区域上各点处 的流速均为（常向量）p.设n为垂直于S的单位向量（图8-21(a)),计算单位 时间内经过这区域流向n所指一侧的液体的质量m(液体的密度为P)。 (b) 图8-21 解单位时间内流过这区域的液体组成一个底面积为A、斜高为。I的斜柱 体（图8-21(b).这柱体的斜高与底面的垂线的夹角就是v与n的夹角日，所以 这柱体的高为lv lcos0,体积为 Alv1cos0=Av·n. 从而，单位时间内经过这区域流向n所指一侧的液体的质量为 m=pA·n. 二、两向量的向量积 在研究物体转动问题时，不但要考虑这物体所受的力，还要分析这些力所产 生的力矩。下面就举一个简单的例子来说明表达力矩的方法. 设O为一根杠杆L的支点.有一个力F作用于这杠杆上P点处.F与OP的 ·17·
第八章向量代数与空间解析几何 夹角为0（图8-22）.由力学规定，力F对支点0的力矩是一向量M,它的模 1M=10Q11F1=10P1IF1sin0, 而M的方向垂直于OP与F所决定的平面，M的指向是按右手规则从OP以不超 过π的角转向F来确定的，即当右手的四个手指从O以不超过的角转向F 握拳时，大拇指的指向就是M的指向（图8-23）. M=OPX F 图8-22 图8-23 这种由两个已知向量按上面的规则来确定另一个向量的情况，在其他力学 和物理问题中也会遇到.于是从中抽象出两个向量的 向量积概念 设向量c由两个向量a与b按下列方式定出： c的模Icl=lallb1sin6,其中0为a,b间的夹角： c的方向垂直于a与b所决定的平面（即c既垂直于 a,又垂直于b),c的指向按右手规则从a转向b来确 定（图8-24），向量c叫做向量a与b的向量积，记作 a×b,即 c=axb. 图8-24 按此定义，上面的力矩M等于O示与F的向量积，即 M=OP x F. 由向量积的定义可以推得： (1)a×a=0. 这是因为夹角0=0，所以1a×al=al2sin0=0. (2)对于两个非零向量a、b,如果a×b=0,那么a∥b:反之，如果a∥b,那么 a×b=0. 这是因为如果a×b=0,由于1al≠0,b1≠0，那么必有sin0=0,于是=0 或m,即a∥b:反之，如果a∥b,那么0=0或m,于是sin0=0,从而1a×b1=0. 即a×b=0. ·18
第二节数量积向量积·混合积 由于可以认为零向量与任何向量都平行，因此，上述结论可叙述为：向量 a∥b的充分必要条件是a×b=0. 向量积符合下列运算规律： (1)b×a=-a×b. 这是因为按右手规则从b转向a定出的方向恰好与按右手规则从a转向b 定出的方向相反.它表明交换律对向量积不成立， (2)分配律(a+b)×c=a×c+b×c. (3)向量积还符合如下的结合律： (Aa)×b=a×(Ab)=A(a×b)(A为数) 这两个规律这里不予证明. 下面来推导向量积的坐标表示式 设a=a,i+aj+ak,b=b,i+bj+b.k.那么，按上述运算规律，得 a×b=(a,i+aj+a,k)×(b,i+bj+bk) =a,i×(b,i+bj+b,k)+ aj×(b.i+bj+bk)+ak×(b,i+bj+b,k） =a,b.(i×i)+a,b,(ixj)+a,b,(i×k)+ a,b,j×i)+a,b,(j×j)+a,b,j×k)+ a,b.(k×i)+a,b,(k×j)+ab,(k×k) 因为i×i=j×j=k×k=0、i×j=k、j×k=i、k×i=j,j×i=-k、k×j=-i和 i×k=-j,所以 a×b=(a,b.-a,b,)i+(a,b.-a,b,)j+(a.b,-a,b,)k. 为了帮助记忆，利用三阶行列式，上式可写成 i j k a×b=a.a,a, b,6,b 例4设a=(2,1,-1),b=(1,-1,2),计算a×b. i j k 袋 a×b=21-1=i-5j-3k. 1-12 例5已知三角形ABC的顶点分别是A(1,2,3),B(3,4,5)和C(2,4,7), 求三角形ABC的面积. 解根据向量积的定义，可知三角形ABC的面积 Sac=21M1Msin∠A=21店×Ad. ·19