第三节平面及其方程 Ⅱ上一点M(x。,a,)和它的一个法线向量n=(A,B,C)为已知时，平面Ⅱ的 位置就完全确定了.下面我们来建立平面Ⅱ的方程。 设M(x,y,)是平面Ⅱ上的任一点（图8-30）. 则向量M。必与平面Ⅱ的法线向量n垂直，即它们 的数量积等于零 n·Mni=0. 因为n=(A,B,C),M,i=(x-xy-02-）.所 以有 A(x-x0)+B(y-yo)+C(2-0)=0. 图8-30 (3-3) 这就是平面Ⅱ上任一点M的坐标x,y,:所满足的方程。 反过来，如果M(x,y,2)不在平面Ⅱ上，那么向量M,与法线向量n不垂直， 从而n·M,i≠0，即不在平面Ⅱ上的点M的坐标x,y,z不满足方程(3-3). 由此可知，平面Ⅱ上的任一点的坐标x,y,:都满足方程(3-3)：不在平 面Ⅱ上的点的坐标都不满足方程(3-3).这样，方程(3-3)就是平面Ⅱ的方 程，而平面Ⅱ就是方程(3-3)的图形.因为方程(3-3)是由平面Ⅱ上的一点 M。(x。,y。,n)及它的一个法线向量n=(A,B,C)确定的，所以方程(3-3)叫做 平面的点法式方程。 例1求过点(2，-3,0)且以n=(1,-2,3)为法线向量的平面的方程. 解根据平面的点法式方程(3-3)，得所求平面的方程为 (x-2)-2(y+3)+3z=0, x-2y+3z-8=0. 例2求过三点M,(2,-1,4)、M2(-1,3,-2)和M(0,2,3)的平面的 方程 解先找出这平面的法线向量m.因为向量n与向量M,M和M,M都垂直， 而M,M=(-3,4,-6),M,1=(-2,3,-1),所以可取它们的向量积为n,即 i j k n=M,M2×M,M,=-34-6=14i+9j-k, -23-1 根据平面的点法式方程(3-3)，得所求平面的方程为 14(x-2)+9(y+1)-(z-4)=0 14x+9y-z-15=0. ·25
第八章向量代数与空间解析几何 三、平面的一般方程 因为平面的点法式方程(3-3)是x、y和：的一次方程，而任一平面都可以 用它上面的一点及它的法线向量来确定，所以任一平面都可以用三元一次方程 来表示. 反过来，设有三元一次方程 Ax +By+C:+D=0. (3-4) 我们任取满足该方程的一组数x。,。,0,即 Ax,+B。+C20+D=0. (3-5) 把上述两等式相减，得 A(x-x)+B(y-）+C(-）=0. (3-6) 把它和平面的点法式方程(3-3)作比较，可以知道方程(3-6)是通过点M,(x。, 。,)且以n=(A,B,C)为法线向量的平面方程.但方程(3-4)与方程(3-6)】 同解，这是因为由(3-4)减去(3-5)即得(3-6)，又由(3-6)加上(3-5)就得 (3-4).由此可知，任一三元一次方程(3-4)的图形总是一个平面.方程(3-4) 称为平面的一般方程，其中xy:的系数就是该平面的一个法线向量”的坐标， 即n=(A,B,C) 例如，方程 3x-4y+z-9=0. 表示一个平面，n=(3,-4,1)是这平面的一个法线向量. 对于一些特殊的三元一次方程，应该熟悉它们的图形的特点. 当D=0时，方程(3-4)成为Ax+By+C2=0,它表示一个通过原点的平面。 当A=0时，方程(3-4)成为By+C:+D=0,法线向量n=(0,B,C)垂直于 x轴，方程表示一个平行于（或包含）x轴的平面. 同样，方程Ax+C:+D=0和Ax+By+D=0分别表示一个平行于（或包含】 y轴和z轴的平面 当A=B=0时，方程(3-4)成为+D=0或：=-2法线向量=(00.C) 同时垂直x轴和y轴，方程表示一个平行于（或重合于）xO,面的平面 同样，方程Ax+D=0和By+D=0分别表示一个平行于（或重合于）yO:面 和xOz面的平面. 例3求通过x轴和点(4，-3，-1)的平面的方程。 解由于平面通过x轴，从而它的法线向量垂直于x轴，于是法线向量在x 26
第三节平面及其方程 轴上的投影为零，即A=0:又由平面通过x轴，它必通过原点，于是D=0.因此可 设这平面的方程为 By Cz=0. 又因这平面通过点(4，-3，-1)，所以有 -3B-C=0, 或 C=-3B. 以此代人所设方程并除以B(B≠0)，便得所求的平面方程为 y-3z=0. 例4设一平面与x,y和：轴的交点依次为 P(a,0,0)、Q(0,b,0)、R(0,0,c)三点（图8-31）， 求这平面的方程（其中a≠0，b≠0，c≠0）. 解设所求平面的方程为 Ax By +Ca +D=0. 因P(a,0,0)、Q(0,b,0)和R(0,0,c)三点都在这平 面上，所以点P、Q和R的坐标都满足方程(3-4)， 即有 图8-31 raA+D=0, bB+D=0. [cC+D=0, 解得 A=B=-台c= 以此代入(3-4)并除以D(D≠0)，便得所求的平面方程为 +若+山 (3-7) 方程(3-7)叫做平面的截距式方程，而a、b和c依次叫做平面在xy和z轴上的 截距 四、两平面的夹角 两平面的法线向量的夹角（通常指锐角或直角）称为两平面的夹角. 设平面Ⅱ，和Ⅱ2的法线向量依次为n,=(A,B,C,)和n2=(A2,B2,C2), 则平面几，和2的夹角0（图8-32）应是(n1,n2)和(-1，n2）=T-(1,) .27
第八章向量代数与空间解析几何 两者中的锐角或直角，因此，cos0=1cos(n,n2). 按两向量夹角余弦的坐标表示式，平面几，和平面 Ⅱ2的夹角0可由 IA:A2 +B,B2 +C C2 I c0s0= (3-8) √A+B+C√A+B+C 来确定。 图8-32 从两向量垂直、平行的充分必要条件立即推 得下列结论： ,几2互相垂直相当于A,A2+B,B,+C,C=0: 几几豆相学行或意合相等于会-会-会 例5求两平面x-y+2z-6=0和2x+y+z-5=0的夹角 解由公式(3-8)有 c0s0= 11×2+(-1)×1+2×11 +(-1)+22+1+m2 因此，所求夹角0=牙 例6一平面通过两点M,(1,1,1)和M2(0,1,-1)且垂直于平面x+y+ z=0,求它的方程. 解设所求平面的一个法线向量为 n=(A,B.C). 因M,M?=(-1,0,-2)在所求平面上，它必与n垂直，所以有 -A-2C=0. (3-9) 又因所求的平面垂直于已知平面x+y+z=0,所以又有 A+B+C=0. (3-10) 由(3-9)、(3-10)得到 A=-2C,B=C. 由平面的点法式方程可知，所求平面方程为 A(x-1)+B(y-1)+C(:-1)=0 将A=-2C及B=C代入上式，并约去C(C≠0)，便得 -2(x-1)+(y-1)+(:-1)=0 即 2x-y-2=0. 这就是所求的平面方程. 28
第三节平面及其方程 例7设P。(,y。,。)是平面Ax+By+Cz+D=0外一点，求P。到这平面的 距离（图8-33） 解在平面上任取一点P,(x少，)，并作一法 线向量n,由图8-33，并考虑到P,P。与n的夹角0也 可能是钝角，得所求的距离 d=|P,Pcos=P,E·m侧 Inl 而 图8-33 n=(A,B,C),PP。=(x0-1y0-y1,0-）, 得 P·0_A(-)+B(-)+C(-） Inl √A+B+C _A+B。+C。-(Ax,+B,+C2） A+B+C 因为Ax,+By,+Cz1+D=0,所以 P,卫·n_Ax+B。+C。+D √A2+B2+C 由此得点P。(xoo,)到平面Ax+By+Cz+D=0的距离公式 d=M,+B。+C+D1 (3-11) √+B+C 例如，求点(2,1,1)到平面x+y-z+1=0的距离，可利用公式(3-11)， 便得 d=1×2+1×1-1×1+1山=3 √2+12+(-1)了 习题8-3 1.求过点(3,0，-1)且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程 2.求过点M。(2,9,-6)且与连接坐标原点及点M。的线段OM。垂直的平面方程. 3.求过M,(1,1,-1)M,(-2,-2,2)和M,(1,-1,2)三点的平面方程 4.指出下列各平面的特殊位置，并画出各平面： (1)x=0: (23y-1=0: (3)2x-3y-6=0: (4)x-5y=0: (5)y+2=1: (6)x-22=0: (7)6x+5y-z=0 ·29·