二、相关系数 定义45若D(X)>0,D(Y)>0,则称数值 Cov(X, Y) 为随机变量X与Y的线性相关系数,简称相 D()yD(r) 关系数,记为xy,即 Cov(X,Y) D(X)√D(Y X与Y的相关系数a实际上为X,Y的标准化随机变 量的协方差
二、相关系数 关系数，记为 即 为随机变量 与 的线性相关系数，简称相 定义 若 则称数值 , ( ) ( ) Cov( , ) 4.5 ( ) 0, ( ) 0, XY X Y D x D Y X Y D X D Y . ( ) ( ) Cov( , ) D X D Y X Y XY X与Y的相关系数XY实际上为X,Y的标准化随机变 量的协方差
若r*≤X-E(X ,P*Y-E(r ,分别为X与Y的标 D(X) √D(Y) 准化,则X与y的协方差 Cov(X,r COV(X-E(X,Y-E(n) √D(X)√D(Y) Cov(X,Y D(X)ND(Y) XY°
准化，则 与 的协方差 若 分别为 与 的标 * * * * , ( ) ( ) , ( ) ( ) X Y X Y D Y Y E Y Y D X X E X X . ( ) ( ) Cov( , ) ( ) ( ) Cov( ( ), ( )) Cov( , ) * * XY D X D Y X Y D X D Y X E X Y E Y X Y
例1设X~N,a2),Y~N(,a2,且X与Y相互独立, 求U=ax+BY,V=aXB的相关系数(其中a,B是不为零 的常数。 解由已知有D(X)=D(Y)=a2.由于X与相互独立, 从而有 D(UD(ax+Br=a2D()+B2D(r=(az+B2)o2, D(=D(ax-Br=a2D(A)+B2D(r=(a2+B2)02 根据协方差性质, Cov(U,v=Cov(ax+Bl, ax-Bn)
例1 设X～N(,2), Y～N(,2), 且X与Y相互独立， 求U=X+Y, V=X-Y的相关系数(其中,是不为零 的常数。) 解 由已知有D(X)=D(Y)=2 . 由于X与Y相互独立， 从而有 D(U)=D(X+Y)=2D(X)+2D(Y)=(2+2)2 , D(V)=D(X-Y)=2D(X)+2D(Y)=(2+2)2 . 根据协方差性质， Cov(U,V)=Cov(X+Y,X-Y)
a Cov(X, X)-aBCov(,n) +aBCov(Y, X)-B2Cov(,y a2D(X)B2D(n (a2-B2) 从而有 Cov(U,) DQU)D(V) (a2-B2)a2 (a2+f2)a2 a-B a2+B2
. ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 D U D V Cov U V UV =2D(X)-2D(Y) =(2-2)2 . =2Cov(X,X)-Cov(X,Y) +Cov(Y,X)-2Cov(Y,Y) 从而有