北京邮电大学出版社：21世纪高等学校规划教材《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第7章 多元函数微分及其应用 第3节 全微分及其应用

注意：定理2的逆定理不成立.即： 偏导数存在函数不一定可微 刂 xy 反解：函数K:)0 x2+y2=0 易知fx(0,0)=f(0,0)=0,但 △z-[fx(0,0)Ax+寸(0,0)Ay= △x△y (△x+(Ay) △x△y △x△y V(4x)2+(△)2/p(△x)2+(△y) 0 ≠o(P)因此，函数在点(0,0)不可微 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 反例: 函数 f (x, y)  易知 (0, 0)  (0, 0)  0 , x y f f 但 z [ f ( 0, 0) x f ( 0, 0) y]   x   y   o( ) 因此,函数在点 (0,0) 不可微 . 注意: 定理2 的逆定理不成立 . 2 2 ( x) ( y) x y      2 2 ( x) ( y) x y       2 2 ( x) ( y) x y        0 偏导数存在函数 不一定可微 ! 即: , 0 2 2 2 2    x y x y xy 0, 0 2 2 x  y 

定理3（充分条件）若函数z=f(x,y)的偏导数 Ox'Oy 在点(x,y)连续，则函数在该点可微分 证：△z=f(x+△x,y+△y)-f(x,y) =[f(x+△x,y+△y)-f(x,y+△y] +[f(x,y+△y)-f(x,y)] =f(x+Ax,y+Ay)Ax+fy(x,y+02Ay)Ay 0<0,02<1) =[fx(x,y)+8 lAx +[fy(x,y)+621Ay =0.8，=0 △x→0 △y-→0 △y>0 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束  [ f (x  x, y  y) ] 定理3 (充分条件) y z x z     , 证：z  f (x  x, y  y)  f (x, y) (0 , 1 ) 1  2  f x y x  [ x ( , )  ]       f x y y y  f x (x 1x, y  y)x  y ( ,  2 )  f (x, y  y) [ f (x, y  y)  f (x, y)] f x y y [ y ( , )  ] 若函数 z  f (x, y)的偏导数 在点(x, y) 连续, 则函数在该点可微分. 1  2  lim 2 0 0 0       y x lim 0, 1 0 0       y x