71得到 m≤≤M, 从而证明了关系(5) 最后等式(6(以由(5)和关函数C5的中值定 得到(注意,在∫Cc的情,形,有 你=mnf(2)和M=maxf() gELa, N] z∈,b 我们指出,如果g)1在]上,等式(14)由(6得出 C.积分的第二中值定理在黎曼积分理论中更加特别、更加 微妙的是第二中值定理, 为了不使这个定理的证明过分复杂首先做一些准备,它们本 身也是很有趣的 阿贝尔变换阿贝尔变换是和式∑b的如下变换,设A ∑q,还令4=0.于是有 ∑A 4-∑ ∑4(-bn 迟此, ∑=(44)+2制-,1(82 ∑响=44+∑1(-b) 因为A ′根据阿爽狝变换容易证明
/2如果数4=24(=1,“,满足不等式m4 ≤l,面数(=-1,,n)是非负的且b>+(i=1,…,1-1), 则 n<∑4M, 〈糊b>0和b-b>0(i=1,"1-1],从(9)得到 ∑M+(-)+M1-)=M 用类似的方法也可验证12)中去边的不等式 3如果fAc],则对(,6可以定文函数 且F∈u[ab] d对任何(b,积分(2)的存在性已从§1的命题 4知道,因此剩下的只是验证函数F()的连续性.由于f冤 [b在06上我们有()<0,设(4和x 6.那么根据积分的可加性以及不等式(9,0,0得到 I+6 F(2+-)2=-|u (t≤⊥()tscl 这里我们利用了不等式(0)并注意到以下事实当砍<0时,有 fO)(=1-1(0)d4=0 90) I+A 这样我们证明:如果2x∈(13,则 Fx+b)-F(以)<C 星然由此立即导出函数在区间国的任献魏
现在来证明下面的引選,它是第二中值定理的变形, 引如果6,面在区间(4上非,不 则存在∈[a,b]使 (9(a9) 在证明这个引理之前,首先指出,与第一中值定理中的关系 6)6不同,23)中积分号下的函数是f而不是单调函数g ←为了证明公式2),已经研究过的上述情形一我们 将设法估计相应的积分和 设P是闭区间[b的一个分划首先记下等式 并证明,当(P)0时,上式中最后的和式趋于 因为所以()<∞在(上成立,于 是利用诋明了的积分的性质,得到:当减(P)时,有 ≤Q】|:94 (2>09,4)ax+0 角
1(P1+0 现在估计24端的和式令F()=()根据引 我们得到,它在区间[引上连统, m=min F(o), M= max FG) t∈a,b rEo,11 出升|f(la=F()-F(x-)所以 虑到函数g在区间[上的非负性而且是单惆不增的,记 F(x)-F(x-,=9x: 根据引理2,有 m)-(x)9)Mgd),2 因为4==F)-F)=F(x)-70)=F(a 这样,我们迸明了:和式(25)满足不等式(2.因此,利用关系 2),得 啊90(9)(M9 加果(d)=2,要证明的关系(2)显然是对的.如果(>0,令 (1( 从(2得m心而由函数F()=(d在侧上 t:u:;" 的连续性可知,存在点纸(a,使F()=,从面鹏了式
23 定理6(积分的第二中值定理)如果f,9∈{(q矿而g在 6上单调,则存在点5∈(c使 (9+:)9)(,.2(2 等式(28及等(2)叫波内公式0 d设9是区间上的不减函数、则)=91)-y(2) 是上的非负不增,可积的函数.利用公(23,我们得到 (,)(l:(00ft 29) 0(+91)1-1(9 G(a)f(a)dx-g(6)f(r)dr-g(a) f(a)dx. 注意到这些关系式以积分的可加性,从(29)即得到待证的等 如果g是不增函数,那么令G()-9(b,我们就得到 0(2是上的非负,不增,可积的函数,这,我们又得到公式 2),眼着也就得出公式(3 习题与练习 试证:如果且在a有(2)>,则 当在()某-连续点x∈,矿)f(4>0时,必成立严格不 箏式 f(e ds>0. QB0n8182—法国数学家和天文学家波内最主的数学著作 浏时徽分儿侧间