.从条件(211 2.试证:如果〔∈死(,5,m=itfj(x,l=p∫(2,则 靠∈!a.b ()x=1b-a),其中m,(见上节问题3) b.当∫在(a,6上连续时,存在点到lb使 f(:)(b-0) 3.试证:如果f0C,5(0在,上成立,以及M=max(a lim[ f(a)d:F=M. 4,试证如果死(a,b,则f(6(>0 b.试根据和式的赫尔德不等式证明积分的赫尔德不等式 其中f,且9>1, c试根据和式的闵可夫斯基不等式证明积分的闵可夫斯蓄不等式: f+g/(a)dtk<lIf a)d: P+lola)dr 共中且≥2,试证:当0<1<,这个不等式的不等号调转 方向 d.试验证:如果∫是R上的连缤西函数,而φ是R上的任意连续函数, 则当c≠0时成立不等式 p()dk一(q()d 0当=9=2时尔篇代数不等式首先是刺181得到的,并以他的名 名当P=g=2时,嶙尔德积分不等式首先是使国数学家布尼暴可夫斯寓(8 891年发观的.这个重要不等式(p=9=2角情形)喝布尼可夫斯蒿不 式成柯西布尼雅可夫斯基不等式有时还看到不准确的命名一《瓦尔茨不 式在篇国 撒学家许瓦尔茨(w1924警作中出现过达个 不等式
§3,积分和导撒 1.积分和原函数设是闭区间b上的黎曼可积函数 考虑达个区间上的函数 P(a)=1f(t)dt, 常把它叫做变上限的积分, 因为[4所以f1522,其中1xCa,b 因此,函数n-F()[n有定义, 如果f(2)<C<+∞在1b]上成立(作为可积函数在 b]上有界),则从积分的可加性和最简单的估计得到:如果,z+ ∈[矿,则 F(+)-F()|< 順便指出,关于这一点在证明上节的引理3时我们已经说过 特别地,从不等式2)得到F上连,于是 现在我们对F进行更详细的研究 下面的引理以后的整个理论具有根本的童要性 理10如果(,面在某(14连,则公式 l定义的函图数2 F在这个点可微,而且成立等式 WMAA 2f( 设xx+∈].我们来估计差F(x+1)-F(,从 在z的连续性推出f()f)(t,其中当→2)时有() 40[6,如果x是周定点,则图数2()()1:(/为 可积函数+小()和常数f)差是区间[c上的可积函数,以 M()表示量up1(),其中1(是以和上[c为端 ) 点的区间,根据假设条件,当少时,有l()→0
2+↓ F(+()0-)=“0)l f(a)h a(b)h 其中 因为 r+M f+i ,40)41:0 M(2 所以()M(④),从而,当本0时(t+∈[,5),有 ) 这样一我们证明了:如果∫在点纸∈琏,则当位 袋x+k(q]时减立等式 F(+)-7()(+(4 其中a(当b0时 然而这个结爆正说明函数F在点(处可微且rP() 引1的最重要的直接推沦是下驅的定惠 习闭区间a 上的每个连统函数付c小号 ]心在该区 间上都有一个原函数,而区间马列上的函∫的任一原函鞭 都有 多()u 的形式其中c是一个常效 00,((4】国此减引,碱 35
是∫在a,b上的原函数,但是,同一个函数郁区间上的两个原函 数()和P(%能相差一个常数,因北,9()-F(2+. 请注我们证明了原函数的完全没有意思断言可 在初等函数中求出它已经指出过一般说来,这是不可能 为」今后应用的万便,我们把原图数慨念作相许l),未用 定义1区间上的连续函数x}→()叫定义在该区间 的函数}→∫()的原函数(广义原函数),如果最多除去有限多 个点以外,在该区间上成立关系3(2)=(2 根据这个定义可以证哪: 定理在闭区间b]上定义的有界且仅有有限多个间断 Mw MAMMAAAAAAw 点的函数,在该区间上有(广义)原函教而且子在 6]上的任一原函数都具有(4)的形式 因为只有限个间断点且有界,所以f9a,从 而根据引厘1,函数()是∫在tanb}上的广义原)函数,而且,如已 经指出的那样,根据(2),函数(1)在(c6]上连续,如果()是函 数∫在[a上的另一个原函数,则(x)-F{()是连续的,而且在 由∫的间断点分割区间[c6而成的每个开区间内是常数由此, 从罗(a)-F(a)祖b]上的连续性得出,扭,b上()-F() Const 2单额業布尼款公式 、2:如果f{→R是有界且仅有有限个断点的函 数则长①且 f(l-9(0)-9( 其中9:4是在区间(④上的任:原函数 4在陶上烂父的仅有有限个前断点的有界透数角可积 35
性是已经证明过的(见§1命题2的推论2)函数在tb]上 的原函数的仔在性由定理1保证,根据这个定選,9()(4)的 形式在(4)中令=a得F(a)=c,由此 9(=(0+() 别 f(3(6)-(o, 这与要证的(5)只是表示积分变量的字母硐同配已 关系(5)对整个分析学具有基本的意义,它歡顿布尼 茨公式 函数的差值()-9()常用符号(小)出表示利用这个 记号可将牛顿-莱布尼茨公式写成如下形式 f()() 由于当a和b调换时,这个公式两端同时改变符号,所以该公式对 于任何关系的a和也就是对无论≤b还是吵≥b的情形,都是 正确的, 在分析练习中,牛顿菜布尼茨公式多用来计算它左边的积 分达容易造成对这个公式应用的误解,事实上,具体的积分很少 是通过原函数求出的,而常是藉助于常用的积分近似计算法用 电子计算机直接进行数值计算求出的牛鳜莱布尼芪公式在数学 分析理论本身中占有关键地位,它把积分学和微分学联系起来, 特别是,它在分析中还进一步发展成一殷的斯铎克斯⑩公式, 达一#剩下的部分可以看作是牛倾莱布尼茨公式在分析中 应用的例子, G.19198-英国学家和学家