目录 第一讲调和函数的几何理论 1 第二讲Fourier分析与调和函数的展开式 35 第三讲 扩充空间与球几何 59 第四讲 Lorentz 76 第五讲 球几何的基本定理 103 第六讲 非欧几何学 129 第七讲 混合型偏微分方程 137 第八讲 形式Fourier级数与广义函数 177 .iii
第一讲调和函数的几何理论 §1.旧事重提 在复平面上变形 <1 (1) a2 及 wse 2 (2) 由(1)推得 (2-a(2- (1-az)(1 (1-1a2)(1-1z|2 因此(1)把单位圆|2=1变为单位圆|c ,单位圆内部 变为单位圆内部.变形(2)也有此性质.并且(1)把z=a变 为 微分(1)式得 m=-d+(a-a)ad(1-ax)2(4) (1一az)2 (3)、(4)相除,取绝对值的平方得出经过(1)、(2)不变的微 分型 law z t 2)2 (5) 与此微分二次型相对应的有不变的微分算子 )这儿a代表a的共轭虚数
(1-/a12)8 =(1-|z|2)2 6u0 azas 这就是 Laplace算子 o①,① aza a (1)既然把单位圆变为单位圆,则当z=c(0≤r≤2r)时 即 -1-n 这代表变形(1)在单位圆圆周上所引起的变化.而(4)式变 为 e小ψ d 两者相除得出 dr 命 及 pcos(a-ttp2 这个函数称为 Poisson核,因此, Poisson核是单位圆经(1)变 为自己所得出的函数行列式, Poisson核有以下的特点: (i)定正性。当p≤1时,P(p,θ-r)>0, (i)imP(p,0-τ)= 若6 若θ 1 P 这结果也是显然的,其理由是,由(7)得 tdT d=1
性质(i)与(i)合并称为“δ函数的性质 (iv)当p<1时,它适合于 Laplace方程(极座标形式) 2 十 0 要证明这一点也是十分容易的,因为 P(p26-)=1+ i(-r) 十 1+2∑p"cosn(O-r), 而p"cosn(0-τ)显然适合于(9),因而P(p,6-z)也适合 于(9) 解单位圆的 Dirichlet问题 给一个以2x为周期的连续函数q(0),求一函数4(pe) 在圆内适合于 Laplace方程,且 limu(pe)ap(0 (10) 这就是有名的 Dirichlet问题 我们分以下几个步骤来解决这一问题 (1)先证“均值公式”:如果以(pe)在圆内有二阶连续 偏微商,而且适合 Laplace方程(9),在圆内及圆周上连续,则 (pe6)d=“(0),0≤p≤1 证法是:由 Laplace方程知 u(pe a)-1m (pe°)a 0。 求积分得 1)适合 Laplace方程的函数称为调和函数
01 u(pe°)d0=k 当p=0时,可见k=0.再积分,得 2 是一与P无关的常数,再取p=0,得(11)式 (2)依(1)换变数,命 (z)=u(u) 则 v(e1)=u(e“) (11)式变为(p=1) (a)=(0)=1a(e“) 2I Jo (e) dt 命a=pc°及换符号则得 Poisson公式 u(peie 1 ute dz.(12) 0 1-2pcos(-) 换言之,如果“(pc°)是一个调和函数,则有以上的公式 (3)最大(最小)值原理.一个单位圆内的调和函数,如 果不是常数,则一定在圆周上取最大(最小)值 如果(pe)最大,由(12)可知 2xJo 1-2pcos(6-)+p2 ≤(pe°)1",(1) 2J0 2pcos(θ-x)+p2 并且仅当“是常数时取等号,不然,总有一段弧,其中a(e") u(pc°),因而上式取不等号 同样最小值也在圆周上取