《运筹学》讲义 运筹学是一门应用科学,它广泛应用现代科学技术知识、用定量分析 的方法,解决实际中提出的问题,为决策者选择最优决策提供定量依据。 运筹学的核心思想是建立在优化的基础上。 例如,在线性规划中体现为两方面: (1)对于给定的一项任务,如何统筹安排,使以最少的资源消耗去完 成 (2)在给定的一定数量的资源条件下,如何合理安排,使完成的任务 最多? 运筹学解决问题的主要方法是用数学模型描述现实中提出的决策问 题,用数学方法对模型进行求解,并对解的结果进行分析,为决策提供科 学依据 随着计算机及计算技术的迅猛发展,目前对运筹学的数学模型的求解 已有相应的软件。因此,在实际求解计算时常可借助于软件在计算机上进 行,这样可以节省大量的人力和时间
-1- 《运筹学》讲义 运筹学是一门应用科学，它广泛应用现代科学技术知识、用定量分析 的方法，解决实际中提出的问题，为决策者选择最优决策提供定量依据。 运筹学的核心思想是建立在优化的基础上。 例如，在线性规划中体现为两方面： （1）对于给定的一项任务，如何统筹安排，使以最少的资源消耗去完 成？ （2）在给定的一定数量的资源条件下，如何合理安排，使完成的任务 最多？ 运筹学解决问题的主要方法是用数学模型描述现实中提出的决策问 题，用数学方法对模型进行求解，并对解的结果进行分析，为决策提供科 学依据。 随着计算机及计算技术的迅猛发展，目前对运筹学的数学模型的求解 已有相应的软件。因此，在实际求解计算时常可借助于软件在计算机上进 行，这样可以节省大量的人力和时间
第一部分线性规划内容框架 LP问题 基本概念数学模型「可行解、最优解 实际问题 LP问题 解的概念一基本解、基可行解 基本最优解 基本方法 图解法 原始单纯形法 单纯形法 大M法 人工变量法 对偶单纯形法 两阶段法 对偶理论 进一步讨论 敏度分析—参数规划* 在经济管理领域内应用 运输问题(转运问题) 特殊的LP问题 整数规划 多目标LP问题* 第一部分线性规划( Linear Programming) 及其应用 第一章P问题的数学模型与求解 §1LP问题及其数学模型 (一)引例1(生产计划的问题) 某工厂在计划期内要安排生产I、Ⅱ的两种产品,已知生产单位产品
-2- 第一部分 线性规划内容框架 LP问题 基本概念 数学模型 可行解、最优解 实际问题 LP问题 解的概念 基本解、基可行解 提 出 基本最优解 基本方法 图解法 原始单纯形法 单纯形法 大M法 人工变量法 对偶单纯形法 两阶段法 对偶理论 进一步讨论 灵敏度分析──参数规划* 在经济管理领域内应用 运输问题（转运问题） 特殊的LP问题 整数规划 多目标LP问题* 第一部分 线性规划（Linear Programming） 及其应用 第一章 LP问题的数学模型与求解 §1 LP问题及其数学模型 （一）引例1（生产计划的问题） 某工厂在计划期内要安排生产Ⅰ、Ⅱ的两种产品，已知生产单位产品
所需的设备台时,A、B两种原材料的消耗以及每件产品可获的利润如下表 所示。问应如何安排计划使该工厂获利最多? 资源限量 设备 8(台时) 原材料A 0 16(kg) 原材料B 12(kg) 单位产品利润(元)2 该问题可用一句话来描述,即在有限资源的条件下,求使利润最大的 生产计划方案 解:设x1,x分别表示在计划期内生产产品I、Ⅱ的产量。由于资源的 限制,所以有: 机器设备的限制条件:x1+2x2≤8 原材料A的限制条件:4x≤16 (称为资源约束条件) 原材料B的限制条件:4x2≤12 同时,产品I、Ⅲ的产量不能是负数,所以有 X1≥0,x2≥0 (称为变量的非负约束) 显然,在满足上述约束条件下的变量取值,均能构成可行方案,且有 许许多多。而工厂的目标是在不超过所有资源限量的条件下,如何确定产 量x1,x以得到最大的利润,即使目标函数 Z=2x1+3x2 的值达到最大。 综上所述,该生产计划安排问题可用以下数学模型表示: maxz2X1t3X2
-3- 所需的设备台时，A、B两种原材料的消耗以及每件产品可获的利润如下表 所示。问应如何安排计划使该工厂获利最多？ Ⅰ Ⅱ 资源限量 设备 1 2 8(台时) 原材料A 4 0 16(kg) 原材料B 0 4 12(kg) 单位产品利润（元） 2 3 该问题可用一句话来描述，即在有限资源的条件下，求使利润最大的 生产计划方案。 解：设x1,x2分别表示在计划期内生产产品Ⅰ、Ⅱ的产量。由于资源的 限制，所以有： 机器设备的限制条件：x1+2x2≤8 原材料A的限制条件： 4x1≤16 （称为资源约束条件） 原材料B的限制条件： 4x2≤12 同时，产品Ⅰ、Ⅱ的产量不能是负数，所以有 x1≥0，x2≥0 （称为变量的非负约束） 显然，在满足上述约束条件下的变量取值，均能构成可行方案，且有 许许多多。而工厂的目标是在不超过所有资源限量的条件下，如何确定产 量x1，x2以得到最大的利润，即使目标函数 Z=2x1+3x2 的值达到最大。 综上所述，该生产计划安排问题可用以下数学模型表示： maxz=2x1+3x2
x.+2x、<8 4x.<16 4x.<12 引例2.(营养配餐问题) 假定一个成年人每天需要从食物中获取3000卡路里热量,55克蛋白质 和800毫克钙。如果市场上只有四种食品可供选择,它们每千克所含热量和 营养成份以及市场价格如下表所示。问如何选择才能满足营养的前提下使 购买食品的费用最小? 序号食品名称热量(卡路里)蛋白质(克)钙(mg)价格(元) 猪肉 1000 400 鸡蛋 800 大米 300 白菜 解:设x(=1,2,3,4)为第j种食品每天的购买量,则配餐问题数学模型为 minz= 3x3 2x4 10000x1+800x,+900x2+200x4≥3000 50x+60x2+20x3+10x4≥55 x t 400x1+200x2+300x3+500x4≥800 x≥0(=12,34) (二)LP问题的模型 上述两例所提出的问题,可归结为在变量满足线性约束条件下,求使 线性目标函数值最大或最小的问题。它们具有共同的特征。 (1)每个问题都可用一组决策变量(x1,x2…x)表示某一方案,其具体 的值就代表一个具体方案。通常可根据决策变量所代表的事物特点,可对
-4- + 0 4 12 4 16 2 8 . . 1 2 2 1 1 2 x x x x x x st 引例2. （营养配餐问题） 假定一个成年人每天需要从食物中获取3000卡路里热量，55克蛋白质 和800毫克钙。如果市场上只有四种食品可供选择，它们每千克所含热量和 营养成份以及市场价格如下表所示。问如何选择才能满足营养的前提下使 购买食品的费用最小？ 序号 食品名称 热量(卡路里) 蛋白质(克) 钙(mg) 价格(元) 1 猪肉 1000 50 400 10 2 鸡蛋 800 60 200 6 3 大米 900 20 300 3 4 白菜 200 10 500 2 解:设xj(j=1,2,3,4)为第j种食品每天的购买量，则配餐问题数学模型为 minz=10x16x23x32x4 = + + + + + + + + + 0( 1,2,3,4) 400 200 300 500 800 50 60 20 10 55 10000 800 900 200 3000 . 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x j x x x x x x x x x x x x x t j （二）LP问题的模型 上述两例所提出的问题，可归结为在变量满足线性约束条件下，求使 线性目标函数值最大或最小的问题。它们具有共同的特征。 （1）每个问题都可用一组决策变量(x1,x2,…xn)表示某一方案，其具体 的值就代表一个具体方案。通常可根据决策变量所代表的事物特点，可对
变量的取值加以约束,如非负约束 (2)存在一组线性等式或不等式的约束条件。 (3)都有一个用决策变量的线性函数作为决策目标(即目标函数) 按问题的不同,要求目标函数实现最大化或最小化。 满足以上三个条件的数学模型称为LP的数学模型,其一般形式为 max(或minz=cx1+c2x2+…+cnxn (1.1) a1x2+a12x2+…+a1nxn≤(=,≥)b a2x2+a2x2+…+a2nxn≤(=,≥)b2 st (1.2) anx2+an2x2+…+anxn≤(=,≥)b (1.3) x2…xn≥0 或紧缩形式 max(或mn)z= 分s(=,≥)b,(t=1,2,…m) (1.4) ≥0 或矩阵形式 max(或min)z=cx AX≤(=,≥)b X≥0 或向量形式 max(或min)z=cx
-5- 变量的取值加以约束，如非负约束。 （2）存在一组线性等式或不等式的约束条件。 （3）都有一个用决策变量的线性函数作为决策目标（即目标函数）， 按问题的不同，要求目标函数实现最大化或最小化。 满足以上三个条件的数学模型称为LP的数学模型，其一般形式为： max(或min)z=c1x1+c2x2+…+cnxn (1.1) + + + = + + + = + + + = 0 ( , ) ( , ) ( , ) . 1 2 1 2 2 2 21 2 22 2 2 2 11 2 12 2 1 1 n m m mn n m n n n n x x x a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b st (1.2) 或紧缩形式 max(或min)z= = n j j j c x 1 = = = 0 ( , ) ( 1,2, , ) 1 j n j j j i x a x b i m (1.4) 或矩阵形式 max(或min)z=cx = 0 ( , ) X AX b (1.5) 或向量形式： max(或min)z=cx (1.3)