复变画数与 1901 Complex Analysis and Integral Transform 典型例题 例1、求z平面上的下列图形在映射W=z下的象。 O<rL,Ot (2)0<6<,0<r<2 (3)x2-y2=C,2x=C;(4)x=,y=
张 长 华 复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 典 型 例 题 2 例1、求z平面上的下列图形在映射 w = z 下的象。 (1) 0 r z , ； 4 = ( ) , 4 2 0 0 r 2 ( ) x y C , 1 2 2 3 − = 2xy = C2； (4) x = , y =
复变画数与 1901 Complex Analysis and Integral Transform 解(1)w=z令>l=x2-y2,V=2x 2 sw=z, arg(w)=2 arg(z) 乘法的模与辐角定理
张 长 华 复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 解 (1) w z u x y ,v 2x y 2 2 2 = = − = | | | | ,arg( ) 2arg( ) 2 w = z w = z 乘法的模与辐角定理
复变画数与 1901 Complex Analysis and Integral Transform (1)记W=p2(z=re),则0<r<2,O=丌 映为0<p<4,=20 兀 平面内 虚轴上从点0到4i的一段(见图a) 图 (2)同理知,z平面上0<0<2,0<r<2, 映为w平面上扇形域(见图b), 4i 即0<q<,0<p<4 4 3)见教材B4例1.3.4(3) 图b
张 长 华 复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform u v 4i 图a 4 π = ( = ) 0 2 = w e i z re i r ， , 2 0 4, 2 映为 = = 虚轴上从点0到4i的一段（见图a ）。 (1)记 ，则 即w平面内 0 ,0 2 4 0 ,0 4 2 r （2）同理知，z平面上 ， 映为w平面上扇形域（见图b）， 即 4 图b v u 4i （3）见教材 P14 例1.3.4（3）
复变画数与 1901 Complex Analysis and Integral Transform (4)将直线x=映为l=x2-y2y=2,消y, V 建立L.1所满足的象曲线方程 →v2=42(x2-) u 是以原点为焦点,开口向左的抛物线(见图c1)图c 将线y=1映为=x2-12,=2x,消x得 12=42(12+) 其是以原点为焦点,开口向右的抛物线(见图c2)
张 长 华 复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform x = 映为 u, v （4） 将直线 建立 所满足的象曲线方程 u y ,v 2y 2 2 = − = ，消 y ， 4 ( ) 2 2 2 v = −u 是以原点为焦点，开口向左的抛物线（见图c1) v u 图c 1 2 4 ( ) 2 2 2 v = +u 其是以原点为焦点，开口向右的抛物线（见图c2）。 y = 2 2 将 线 映为 u x v x = − = , 2 ，消 x 得
1901 Complex Analysis and Integral Transform 例2、求下列曲线在映射v 下的象 (1)x2+y2=9(2)x2+(y-1)2=1 解法一(1)w=1 2 x-+ 3<D 消x,y建立,v所满足的象曲线方程或由两个实 象曲线方程即得象曲线方程→/,代入原 二元函数反解解得x=x(u,),yy(u,v)后 x-+
张 长 华 复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 2 2 （1）x y + = 9 2 2 （2）x y + − = ( 1) 1 z w 1 例2、 求下列曲线在映射 = 下的象 解法一（1） 2 2 2 2 , 1 x y y v x y x u z w + − = + = = 消 x, y 建立 u, v 所满足的象曲线方程或由两个实 二元函数反解解得 x=x (u, v), y=y (u, v）后，代入原 象曲线方程即得象曲线方程 9 1 1 2 2 2 2 = + + = x y u v