中国科学技术大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（教案讲义）概率论与数理统计讲义（共六章）

概率论与数理统计讲义 中国科学技术大学统计与金融系概率统计教研室 2008年4月

VÇ؆ênÚOù ¥I‰ÆEâŒÆÚO†7KXVÇÚOï¿ 2008c4

目录 第一章事件与概率 1 1.1概率论发展简史 1 1.2概率论的几个基本概念 1 1.2.1随机试验和随机事件 1 $1.2.2 事件的运算 2 1.2.3概率的定义及性质 4 $1.2.4 条件概率 6 $1.2.5全概率公式和Bayes公式 8 $1.2.6 事件的独立性 10 第二章 随机变量及其分布 13 2.1随机变量的概念 13 $2.2离散型随机变量 14 $2.2.10-1分布 15 2.2.2二项分布 16 2.2.3 Poisson分布 16 $2.2.4离散的均匀分布 18 $2.3连续型随机变量 18 $2.3.1正态分布 21 $2.3.2指数分布 22 $2.3.3均匀分布 24 2.4多维分布 24 2.5边缘分布 28 2.6条件分布和随机变量的独立性 29 $2.6.1条件分布 29 2.6.2随机变量的独立性 32 2.7随机变量的函数的概率分布 33 第三章随机变量的数字特征 41 $3.1数学期望（均值）及中位数 42 3.1.1数学期望 42 3.1.2数学期望的性质 44 $3.1.3条件期望 45 3.1.4中位数 47 3.2方差、标准差和矩 48 $3.2.1方差和标准差 48 3.2.2矩 50

8 ¹ 1Ù ¯‡†VÇ 1 §1.1 VÇØuÐ{¤ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 §1.2 VÇØA‡ÄVg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 §1.2.1 ‘ÅÁڑů‡ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 §1.2.2 ¯‡$Ž . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 §1.2.3 VǽÂ95Ÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 §1.2.4 ^‡VÇ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 §1.2.5 VÇúªÚBayesúª . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 §1.2.6 ¯‡Õá5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1Ù ‘ÅCþ9Ù©Ù 13 §2.1 ‘ÅCþVg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 §2.2 lÑ.‘ÅCþ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 §2.2.1 0-1©Ù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 §2.2.2 ‘©Ù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 §2.2.3 Poisson©Ù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 §2.2.4 lÑþ!©Ù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 §2.3 ëY.‘ÅCþ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 §2.3.1 ©Ù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 §2.3.2 ê©Ù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 §2.3.3 þ!©Ù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 §2.4 õ‘©Ù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 §2.5 >©Ù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 §2.6 ^‡©ÙڑÅCþÕá5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 §2.6.1 ^‡©Ù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 §2.6.2 ‘ÅCþÕá5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 §2.7 ‘ÅCþ¼êVÇ©Ù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1nÙ ‘ÅCþêiA 41 §3.1 êÆÏ"(þŠ)9¥ ê . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 §3.1.1 êÆÏ" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 §3.1.2 êÆÏ"5Ÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 §3.1.3 ^‡Ï" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 §3.1.4 ¥ ê . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 §3.2 !IOÚÝ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 §3.2.1 ÚIO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 §3.2.2 Ý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 i

3.3协方差和相关系数 50 $3.3.1协方差 50 3.3.2相关系数 51 3.4其他一些数字特征与相关函数 52 3.5大数定律和中心极限定理 54 $3.5.1大数定律 54 3.5.2中心极限定理 55 第四章数理统计的基本概念及抽样分布 58 4.1引言 58 4.1.1什么叫数理统计学 58 4.1.2数理统计学的应用 61 $4.1.3统计学发展简史 63 4.2数理统计的若干基本概念 64 $4.2.1总体和样本 64 4.2.2样本的两重性和简单随机样本 66 $4.2.3统计模型 67 $4.2.4统计推断 68 $4.3统计量 69 $4.3.1统计量的定义 69 4.3.2若干常用的统计量 70 4.4三大分布一x2,t,F分布及正态总体样本均值和样本方差的分布 71 $4.4.1x2分布 71 $4.4.2t分布 73 $4.4.3F分布 74 4.4.4正态总体样本均值和样本方差的分布 76 4.4.5几个重要推论 76 第五章参数估计 79 $5.1点估计 79 $5.1.1矩估计方法 79 5.1.2极大似然估计方法 81 5.1.3点估计的优良准则 85 $5.2区间估计 86 $5.2.1置信区间 87 5.2.2置信界 89 5.2.3确定样本大小 90 ii

§3.3 ڃ'Xê . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 §3.3.1  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 §3.3.2 ƒ'Xê . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 §3.4 Ù¦ êiA†ƒ'¼ê . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 §3.5 Œê½ÆÚ¥%4½n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 §3.5.1 Œê½Æ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 §3.5.2 ¥%4½n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 1oÙ ênÚOÄVg9Ä©Ù 58 §4.1 Úó . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 §4.1.1 ŸoênÚOÆ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 §4.1.2 ênÚOÆA^ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 §4.1.3 ÚOÆuÐ{¤ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 §4.2 ênÚOeZÄVg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 §4.2.1 oNÚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 §4.2.2 ü­5Ú{ü‘Å . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 §4.2.3 ÚO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 §4.2.4 ÚOíä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 §4.3 ÚOþ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 §4.3.1 ÚOþ½Â . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 §4.3.2 eZ~^ÚOþ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 §4.4 nŒ©Ù—χ 2 , t, F©Ù9oNþŠÚ©Ù . . . . . . 71 §4.4.1 χ 2©Ù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 §4.4.2 t©Ù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 §4.4.3 F©Ù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 §4.4.4 oNþŠÚ©Ù . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 §4.4.5 A‡­‡íØ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 1ÊÙ ëêO 79 §5.1 :O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 §5.1.1 ÝO{ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 §5.1.2 4Œq,O{ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 §5.1.3 :O`ûOK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 §5.2 «mO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 §5.2.1 &«m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 §5.2.2 &. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 §5.2.3 (½Œ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 ii

第六章假设检验 91 6.1基本概念和问题的提法 91 6.1.1零假设，对立假设，两类错误，拒绝域，显著性水平，功效 91 $6.1.2假设检验问题的提法 93 6.1.3检验统计量的选取及假设检验的步骤 94 6.2重要参数检验 95 6.2.1一样本正态总体均值和方差的检验 95 $6.2.2两样本正态总体的情形 99 $6.2.3成对数据 101 6.2.40-1分布中未知参数p的假设检验 102 $6.3拟合优度检验 103 $6.3.1离散总体情形 103 6.3.2列联表的独立性和齐一性检验 105 6.3.3连续总体情形 107 iii

18Ù bu 91 §6.1 ÄVgÚ¯KJ{ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 §6.1.1 "b, éáb, üa†Ø, áý, wÍ5Y², õ . . . . . . . 91 §6.1.2 bu¯KJ{ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 §6.1.3 uÚOþÀ9buÚ½ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 §6.2 ­‡ëêu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 §6.2.1 oNþŠÚu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 §6.2.2 üoNœ/ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 §6.2.3 ¤éêâ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 §6.2.4 0-1 ©Ù¥™ëêp bu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 §6.3 [Ü`Ýu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 §6.3.1 lÑoNœ/ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 §6.3.2 éLÕá5Úà5u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 §6.3.3 ëYoNœ/ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 iii

第一章事件与概率 教学目的: 1)掌握随机事件的概念和相关运算 2)了解概率的不同定义,掌握古典概型的基本计算. 3)掌握条件概率的概念,熟练运用全概率公式和 Bayes公式. 4)掌握事件独立的概念和有关运算. §1.1概率论发展简史 概率论起源于17世纪,现在公认是1654年 PascalFermat与就赌博中的数学问题所展 开的讨论,在讨论中提出了一些基本概念,最典型的例子是如何分赌本的问题.两个赌 徒相约赌若干局,谁先赢s局就算谁赢由此提出期望的概念.之后几个数学大家 Huygens Bernouli,j, De Moivre等研究了这个问题, Bernouli对频率与概率接近这一事实给予了 理论上的阐述.1812年 Laplace在《分析概率论》中最早叙述了概率论的几个基本定理, 给出了古典概率的明确定义.1814年在《概率的哲学探讨》一书中,记载了一个有趣的统 计故事,根据伦敦、彼得堡、柏林和全法国的统计资料,得出几乎一致的男婴和女婴出生 的比例为22:21,即男婴比例为51.16%,或男婴与女婴的比值为104.76:100,可是统计1745- 1784年整整40年巴黎男婴的出生率时,得到的比例为25:24(104.17:100),调查研究后发现 巴黎人有遗弃男婴的陋习.1900年 Hilbert第二届世界数学家大会上提出了23个有名的 问题,主体是对新世纪数学发展方向的探讨关于建立概率论的公理体系是他所提的 第六个问题“借助公理来研究那些在其中数学起重要作用的物理科学;首先是概率和力 学”.随后 Poincare, Borel等都对概率论公理体系的建立做出了努力,1933年苏联的大数 学家 Kolmogorov103-1987)正式提出了概率论的公理体系概率论从此得到迅速的发展, 在此基础上,数理统计也得到了迅速的发展 §1.2概率论的几个基本概念 1.2.1随机试验和随机事件 随机现象:自然界中的客观现象,当人们观测它时所得结果不能预先确定,而仅仅 是多种可能结果之一 1

1Ù ¯‡†VÇ Æ8µ 1) ݺ‘ů‡Vgڃ'$Ž. 2) )VÇØӽ§ݺ;V.ÄOŽ. 3) ݺ^‡VÇVg§Ùö$^VÇúªÚBayesúª. 4) ݺ¯‡ÕáVgÚk'$Ž. §1.1 VÇØuÐ{¤ VÇØå u17­V, y3ú@´1654cPascal†FermatÒÙÆ¥êƯK¤Ð m?Ø, 3?Ø¥JÑ ÄVg, ;.~f´XÛ©Ù¯K. ü‡Ù äƒÙeZÛ, XkIsÛҎXI. ddJÑÏ"Vg. ƒ￾A‡êƌ[Huygens, Bernouli, J, De Moivre ïÄ ù‡¯K, Bernouli éªÇ†VÇCù¯¢‰ƒ nØþã. 1812cLaplace 35©ÛVÇØ6¥@Qã VÇØA‡Ä½n, ‰Ñ ;VDz(½Â. 1814c35VÇóÆ&?6Ö¥, P1 ‡kÚ O¯, ŠâÔí!*!yÚ{IÚO], ÑAI?Úå?Ñ) '~22:21, =I?'~51.16%, ½I?†å?'Š104.76:100, Œ´ÚO1745- 1784c40cniI?Ñ)Ǟ, '~25:24 (104.17:100), NïÄ￾uy ni<k¢ïI?§S. 1900cHilbert 313­.êÆ[Œ¬þJÑ 23‡k¶ ¯K, ÌN´é#­VêÆuА•&?. 'uïáVÇØúnNX´¦¤J 18‡¯K“/Ïún5ïÄ@ 3Ù¥êÆ孇Š^Ôn‰Æ; Äk´VÇÚå Æ”. ‘￾Poincare, BorelÑéVÇØúnNXïá‰Ñ ãå, 1933c€éŒê Æ[Kolmogorov(1903-1987)ªJÑ VÇØúnNX. VÇØldׄuÐ, 3dÄ:þ, ênÚO ׄuÐ. §1.2 VÇØA‡ÄVg §1.2.1 ‘ÅÁڑů‡ ‘Åy: g,.¥*y, <‚*ÿ§ž, ¤(JØUýk(½, == ´õ«ŒU(Jƒ. 1