复变画数与 1901 ex Ana 2.3初等函数 指数函数 f(x)=e,f"(x)=f(x), f(x)f(x2)=f(x1+x2) f(z=e cosy+ie sin y f(z)=o(e cos y)+i(e sin y OX e cos y+ie sin y=f(z)
复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 2.3 初等函数 一 、 指数函数f z e y ie y x x ( ) = cos + sin 1 2 1 2 ( ) , ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) x f x e f x f x f x f x f x x = = = + cos sin ( ) ( ) ( cos ) ( sin ) e y ie y f z e y x e y i x f z x x x x = + = + =
复变画数与 1901 ex Ana f(=1)·f(=2) (e cos y t ie" sin y(e cos y2+ie sin y2) =e cosyie-sin y, sin y2 +i(et cos y, sin y2+e12 sin y, sin y2) =e-t cos(y1+y2)+ie*t2 sin (y, +y2) =f(=1+2) 特别地,当m(z)=0即z=时f(z)=e
复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform ( ) cos( ) sin( ) ( cos sin sin sin ) cos sin sin ( cos sin )( cos sin ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 f z z e y y ie y y i e y y e y y e y e y y e y ie y e y ie y f z f z x x x x x x x x x x x x x x x x = + = + + + + + = − = + + + + + − + − Im( ) 0 ( ) x 特别地,当 z z x f z e = = = 即 时
复变画数与 1901 ex Ana 1、定义 f(z)=e cos y+ie sin y=e(cosy+isin y) 称为z的指数函数( Exponential unction)记作 类似一元实函数,记指数函数f(=)为 w=e=e(cos y+isin y)ai exp(z)=e(cos y+isin y) 注|e|=ex,Arg(e)=y+2k,e2≠0 当Re(z)=x=0即z=时,变为欧拉公式 e cos y+ sin y
复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 1 ( ) cos sin (cos sin ) ( ) x x x f z e y ie y e y i y z Exponentialf unction = + = + 、定义 称为 的指数函数 记作 ( ) (cos sin ) exp( ) (cos sin ) z x x f z w e e y i y z e y i y = = + = + 类似一元实函数，记指数函数 为 或 e y i y z x z iy ， e e Arg e y k e i y z x z z cos sin Re( ) 0 | | , ( ) 2 , 0 = + = = = = = + 当 即 时 变为欧拉公式 注
复变画数与 1901 ex Ana 2.性质 (1)周期性=e-41,7=2mio与实指数函数的区别之 2) 丌 但(e)2=e,未必成立,如e)2≠e2 即e无乘幂的意义,且lime不存在,与实指数函数的区别之二 2→)00 (3)解析性一一全平面处处解析且,=(e)y=e
复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 2.性质 2 (1) , 2 z z k i e e T i + 周期性 = = 。与实指数函数的区别之一 1 1 2 1 2 1 2 2 (2) , , z z z z z z z z e e e e e e + − = = 1 2 1 2 1 2 2 ( ) ( ) i z z z z i e e e e − − 但 = ，未必成立，如 lim z z z e e → 即 无乘幂的意义，且 不存在，与实指数函数的区别之二 3 ( ) dw z z e e dz （ ）解析性－－全平面处处解析且 = =
复变画数与 1901 ex Ana 、对数函数 指数函数的反函数 1、定义称满足方程e"=z(z≠0)的为 复数的对数( Logarithm函数 推导 记作w=Lnz=ln|z|+iarg(=)+2kzi 2、主值对数一k=0的分支 In z=In z +iarg (z), Lnz=In z+2kzti
复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 二、 对数函数— — 指数函数的反函数 1、定义 ( 0) ( ) n ln | | arg( ) 2 w e z z w z Logarithm w L z z i z k i = = + + = 推导 称满足方程 的 为 复数 的对数 函数 记作 2、主值对数— k = 0的分支 ln ln ( ) ln i z | z | iarg z , Lnz z 2k = + = + π