然,每一个达样的带标志点的分划(P,都产生区间和b,c] 的应的分划计和,PUP以g 由此得到积分和之间的关系 0((P,)=0(;(P,)+0( ((P 因:2×28(×(.11充小时上 面的每个积分和就充分接近于(3)中相应的积分,这样就证明了 (3)成立 为了对所得的结果儆一些推广,暂时回到积分定义上去 我们已经把积分定义为与积分区间16的带标g点分划 (,)相应的积分和 (;(,)=(4 的极限,分划P组成一个单调的有限点列xmx,"yz,而且点 与积分下限西重合,点:与积分上限b重合,这种构造当时是在 囚<b的假定下进行的,如果现在取任意两个数c,不要求a<b, 把为分下飞果而b作件为上,进行上那加么我们 将重新臀到形如(4)和;当<时有x>(=1…",),而当 0>时有△x×1“,,周为△=-送样-来y <6时的和《)与5区间[b2(6<)相应分划的积分和只差一个 根据这些想法,当0>b时,我们做如下约定, f(e)d: =-f a 与此同时,自地也假定 f(a)ds:=0. 散了这些约健之后并注意到引理1我们将得刹分的如下 订烈N“:
定理2设b,6R,面是在以送些点为端点的最大区间 上的可积函数,则在丹外两个区间上的限制在相应的区间上也可 ANAM 积且成立以下等式 1t1 〈由等大(7)关于,,6是对称的,不失一般性可以假定 =n220果ma40b<则根据引還 由此注意到约总5),就得到等式(7 如果max小=b且a<<则根据引理1有 f+(- 由此注意到约定(5,地得到等式(7) 最后如果点④c中有两个或三个重合在-起,则)可由 约定(5)和(6直接得到 定义1设每个由闭区间1[b]的点B组成的有序点对 (4)对应于一个数8(,而且对于任三点,1(1成 立等式 y(4y)=(,)+(8,y) 那么,函数S闯F)競叫儆关于包含于闭区间[1b中的区间上定 义的定向区间的可加函数, 如果长既[4B而b([4到令 g(a, b)=|f(a)dz 则由(7)得 f(a)dx=1 f(e)da+ f(e )4a 也就是说,积分是积分区间的可加函数,在这种情形区定
在于我们给积分区间的端点赋了顺序指出了哪是第一个(即积分 下限)哪是第二个(即积分上限) 3.积分的估计,积分的单调性和中值定理 a.积分的一个一般估计我们从积分的一个一般估计开 ,始以后会看到,它的正确性不限于实值函数的积分 定理3如果a≤b,第则】f:∈846且成立 N f()s( 如果在[上还假定f(2)<C, ,那么 f1(r) dx<c(b- 〈当a=b时定理的断吉是显然的.因此,我们假定<b 为了证明这个定理,只要记赵∈((见§1的命题4, 并积分和(:(,9)进行以下估计就可以了 ∑((∑2=3u C2=6- 令i(P0取极限,我们得到 f()dx<l If(a)d<C(6b-0).p 山.积分的单调性和第一中恤定理、下面的定理是实佃函数 的积分所特有的, 定理4如果<里((在每一点 1]都成立,则 东(2t(t A当=b时定理的猪论是显塾.如最<南2换于积
分和成立不等式 (因为Lx;>0(i=1,“1).只要在达个不等式中令减P)40取 极限即可 定理4衷明积分关于被积函数是单调的 从定理4可以得到一系列有用的推论, 推论1如果a≤,长[6且m≤()≤M在:[ 成立,则 6-0)≤≤M-0.(12 特别地,如果0≤f()在:∈[,成立,则 积分不等式f()≤的每一项并引用定理4就得 到关系(2 推论2如果f16,m=it(),=spf(), rEia, b1 rEia, 6 存在(m使 f((b-) ←如果a=b,结论是显然的,如果a,则令 f(a)ds 于是当a<从(2)可以推出≤<M,但是,将(13)两端网 时改变符号可看出它对次<a的懵形也成立 推论8如果任∈[,则存在ξ∈[c使 f(()(b-a 根囂总图数的中值定瑶,在上在点彭
()=,如果μ满足条件 m=min f(e)<u<max f(3 =M ∈a,b 这样来(1可由(13导出, 等式(分含叫啜积分的第-中值定理对以下-般的断言 我们仍然保留这个名称, 定理5(积分的第-中值定理)1设,8]m=it f(2,M=pf),如果函数y在区间4上非负或非), 靠ab (5) 其中正∈[m,M 如果还有fC[a,6,则在ξ∈[,使 a 因为在等式(15)中两边调换积分上,下限将导致两边同 时变号,所以只要对a<b的情形来证明这个等式就行了,改变 g(2)的符号也同时使(15)两端变号,所以不失一般性,可以假定 g(2)>0在b]成立,由于m=r()和M=upf), 因此当g(2)≥时就有 mg()()()sMy(2 因为my59:9和M·:b]应用定理4 和定理,我们得到 m|9(asa9M91) 如果|9(+=4很显然,从这个不等式能导出类系(1)