6复变画与积 1901 Complex Analysis and Integral Transform 2.2函数解析的充要条件 问题的解决思路 分析解析函数所具备的特征,再推证具备此特征的函数是否解析 f(=)在点=解析→f(=0)在=0点可导 W=f(=)在点=可微 △w=f(二0+△)-f(=0) =f"(=0)A+p(△)△((△)→0)
复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 2.2 函数解析的充要条件 一、问题的解决思路 分析解析函数所具备的特征，再推证具备此特征的函数是否解析 在点 可微 在点 解析 在 点可导 0 0 0 0 w f ( z) z f ( z ) z f ( z ) z = ( ) ( ) ( ( ) 0) ( ) ( ) 0 0 0 = + → = + − f z z z z z w f z z f z
复变画数与 1901 ex Ana 令f(=0)=a+i,A=Ax+1△y,△M=△+v )=p+in2,则 △+i△v=(a+ib)(Ax+iAy)+(1+12)Ax+i△ aAx-bAy+ p,Ax-P2 y+(bAx+aly+p,Ax+ p,Ay) 复数相等条件 △M=a△x-by+p△x-P24y △y=bx+a△y+2△x+pAy
复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 ( )( ) ( )( ) ( ) @ u i v a ib x i y i x i y a x b y x y i b x a y x y u a x b y x y v b x a y x y + = + + + + + = − + − + + + + = − + − = + + + 复数相等条件 则 令 ( z ) i , f ( z ) a ib , z x i y , w u i v , 1 2 0 = + = + = + = +
2复变画数与和换 1901 Complex Analysis and Integral Transform 又24x △ 尸△x △y △z (△x)2+(△y) △x △ +|O (△x)2+(△y)2 (△x)2+(△y) ≤|1|+|P2 当A→>O时,p(△)=P1+iP2→>0等价于 Ax→>0,4→O时,p1→>0,P2→>0 故Ax-p24y(同理P2Ax+p2y)是比|△z 更高阶的无穷小
复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 | | | | ( ) ( ) | | | | | | | | ( ) ( ) ( ) ( ) | | | | x y x y z x y x y x y x y − − = + + + + + 又 1 2 1 2 1 2 2 1 0 ( ) 0 0 , 0 0 , 0 ( ) | | z z i x y x y x y z → = + → → → → → − + 当 时, 等价于 时, 故 同理 是比 更高阶的无穷小
6复变画与积 1901 Complex Analysis and Integral Transform 由二元实函数微分的定义知,@式等价于(x,y) 和v(x,y)在点(x0,y)处可微且在该点处有 b 此即为函数f(z)=t+i在点可导的 必要条件(也是点解析的必要条件)
复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 和 在点 处可微且在该点处有 由二元实函数微分的定义知 式等价于 ( , ) ( , ) @ ( , ) 0 0 v x y x y ， u x y , x y y x u v a u v b = = = − = − 此即为函数f z u iv ( ) = + 在点可导的 必要条件（也是点解析的必要条件）
复变画数与 1901 ex Ana o u 方程 ax称为柯西 黎曼( Cauchy- Nieman)方程(简称CB方程) 反之,我们自然要问是否满足以上条件的 函数必在点可导呢?事实上,该条件也是充 分的,于是有
复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 方程 称为 柯西 ——黎曼(Cauchy—Riemann)方程(简称C-R方程) , u v u v x y y x = = − 反之，我们自然要问是否满足以上条件的 函数必在点可导呢？ 事实上，该条件也是充 分的，于是有---