显然,命的推纶1238命题都可以从贝格判别法 和引理2中所说的零测度集的性质推出, 现在我们不去证呀勒风格判别法,因为我们面临的任务是研 究那些足够正幾的函数,暂时还不需要达个准则但是现在已经 可以完全清楚地阐明勒贝格准则的思想内容了, 命题2中的关系(0)0包含了实值爵数可积性判别准则为 使和∑04很首考0(4.我们知道,它 在函数的连续点的小邻域中是很小的,如果{△中有些区间含有 函数的间断点那么秀于这些区间不管区间[c6的知P多么 细,(f4△)郁不接近零,但是0,△))<因 为∫在,矿上有界)因1含有间断点的那些项的和还是可能很 小的,只要分划中覆盖间断点集合的那些区间的长度和是很小的, 或者更准确些说,只要函数在这些区间上振幅的高度可以从达些 区间的长度很小得到朴偿, 勒贝格判別准则正是达些直观东西的严格叙述和实现, 觋在引入胭以说明黎曼可积函数性质的两个经典例子 例1狄利克雷函数 1,当aQ, 0( 0,当:∈RQ 在闭区间[Q]上不可积因为对区间[01)的任何分划P,在其每 个区间△中都能找到一个有理刻和一个无理数引,因此 0(:(,)=2∑1=4 28(4)24= 18
达样一来,当(P)0时函数()的积分和不可能有极限 从勒贝格判別法来看,狄利克雷函数的不可积性也是明显的, 囡为函数(以)在区间⑩J]中间断点的集合不是零测度集(见引 理2) 例2黎曼函数 当∈Q且a=“是既约分数 9(l)=) 0,2:RQ 我们已经在第四章§1的第2段中研究过这个函,而且知 道,函数()在一切无理点连线,在一切有理点间断,这样一来, 函数2(2)的间断点集合是可数的,从而其测度为零,根据勒贝格 判别法,尽管这个函数在积分区间的任何分划的任何区间中都有 间断点,但它在任{区间6CR上仍然是可积的 例3现在再考察一个不太经典的问题和例子, 设出,→R是区间上的可积函数它在区间C 中取值,又设函数g:c4门→R是连续的.因此,复合函数 b]→R在整个区间[,上定义并在使∫连续的那些点上连 统,由此根据勒贝格判别准则得到,(9∈[, 现在举例说明,可积函数的复合函数末必可积, 考察涵数()gn(),+0时达个函数取值为]当 z=0时,它取值为零,设∫是上面所讲的黎曼密可直接骏 证营如在区闻,2上复合函数((正好是狄利雷函数 ().2这#一来,甚至(2)只有一个间断点饱可导氧合函数 g不, 习与习 达布匙设8(;)和8(;P)是在闭区佩上定义的有界 实值画量对应于这个区间的分P的布和及上本惠,年=时于区 9
间[16]的任两个分划P1Pn成立 s(;i≤S;P2 b.设分划是闭区间(041分刘P的开拓,而A,"A是分烟P 的那样一些区间,它们包含着属于分划P但不属于分划P的点试证:成立 如下估计 0≤8(f;P)-S(P≤o(;(,)(41+…+x, 0≤8(-(:06)21++24 c=p(Pg=in(;P分别叫做函数∫在闭区甸[a,b]上 下达布积分及上达布积分,该证<9 d黄证达布定理 g=lim 8(f; P);g= lim S(; P). k(P+0 (P+0 e.试证:(∈n)>(=),(达布判别法) 式试:,任a4b1,、当且仅当对于任何e>0存在区间b的分划P 使S(;P-8(;P)<, 2.豪托尔测度集第二章§4的向题7中所说的康托尔集是不可 数的,试验证,它仍是勒贝格意义下的零测度集.试问:怎样修改康托儿集 的构造方法可以得到类似的处处“有窟窿"但测度不是零的集合.这种集合 也叫囔托尔集 b.设在区间04上给定了一个函数,它在某康托尔集外等于零,而在 该康托尔集上等于1,试证:当且仅当该康托尔集是零测度集,给定的函 数是黎曼可积的 c在区刺上构造单订调不减,连续的非常数函数,面且最多除去 ↑具早测度的素托尔集,它的导数处处等于0 3Q页判期法a直接骏证(不准引用勤贝格判别法)本节例2中 的黎曼函的可积性, b.量:(,当且仅对于>0和△>,存区间(0的 分划P,使函数在其上的振幅大于E的那些区间的长度之和超过, C试:呢当且仅当在c上有界且对于任何>和> 0,区间[6上使∫的振幅大于e的点的集合可以用有限多个开区向覆盖 而这些开区间的长和办于.(杜:波依斯雷蒙9判别法2 0D19899-国学京, 20
d利用上怎结暴证男函数裂曼可积性的额风格判别法 4证:如果((b】m↓:31m,! 试证 4如果在(4上几乎处=则th gede 如果fa,,在a,上几乎处有f()=(2则甚其至当9在 4b上定义且有界时,它也可能是黎曼不可积的 6向量值函数的积分a设ft)是闻中一动点的矢径向量;r2= 7(是该点的初始位置;(是作为时间的函数的速度向量试根据n和函 数(求r(t) 能否把向量值函数的积分归结为实值函数的积分 c在命题2中的可积性判别法对于向量值函数是否成立 d.对于向量值函数,物风格判别法是否成立 民本节的哪些概念和结果可以转移到复值函数的情形 §2,积分的线性姓可加性和单调性 1.作为变间身6上的线性函数的积分 定理l如果∫和是区间[b]上的可积函数,则它们的 战性组合子+也是,6]上)的可积函数,且 从上一节我们已经知道: 现在我们来证明关系(1)!此同时,又重新证明了函数(qf 间的可耕 考比关系1)去端积分的积分和并它进行变换有 !
因为当分划的参数于0时(2)的端(1)边的 积分的线性组合所以(2)的去边)0时色有而且这 个极限与右边的极限相等,这样,(Q(+9)∈36且等式1) 成立, 如果把集合硎a,b]看儆是实数城上的向量空间,而积分 f(}看做是定义在向量空间z[nb]上的实值函数,则定理 1说明,积分是向量空间c26上的线性函数 为避兔混淆,函数的函数通常叫儆泛函干是,我们证明了: 积分是可积函数向量空间上的线性泛图 2,作为积分区间的可加函徽的积分 积分Q的值((1)横于被积函又 依赖于进行积分的区间,譬如如果长2,则对于[,C 4列有fn,亦即积分」(ae棺定,从而以 研究它对初分区间;的依赖关系, 引理1如果<<,托[则fa f(a)d:=1 f(a)ds+[ f(e) 2. 首先注意,右界函数在区间和,可可积遂由 上一节命题4保证, 其次,由于f究所以当把积分(a为积分和 的极限进行计算时,我们可以选取任意的对我们方便的区间(q 的分划,我们取区间{)那样一些分划它们都包含点b.显 0我们属符号1表示函量在集合居上的限%其中包含在f 約定父嫩内在Q)过号在相应的闻上的%不学 22