另一方面如果/24,亦即存在极限lim((P,D =9,则((8)出存在极限 lms9(1)=9且3= A(P)+0 类似地矿以验证 lim s(; P)=g=g. i A(P)中0 作为命题3的推论,我们得到 命题2为使闭区间[上的有界实值函数f{4可→R 在该区间上黎曼可积必须且只须满足关系 A(P)◆0 √考虑到命题2,只要证明关系()0是f可积的必要条件 我们知道,0(;4→≥=M-mn因此 从而由命题3立刻从(1)0号出日∈9(b c向空间26]对可积函数可以进行列运算其 翰果不超出9 命题4如果,4b,则 1.(+99 b.()∈a1b其中a是数闼子 c .10如果ca :9∈ab 现在我们只研究实值函数,但性质a,b∴c心对于复值函数和 向量值函数也是对的、一般说来对向量值函数,秉积,是不定 义的,因此对它们不册究性质,但达个性质对寓画数仍然
有效 现在我们在和g是实值函数的情形下证明 a.由于(1∈a+a(24航 ∑++M≤∑02+24a 现在从命题2就可推出 (∈[6)(9)=(6+9)9(b b.这个结论是然的,因为 0(:,5时)(x=∑川△n =a0(;(P,), c周为6:E,所以快 从而根据命题2得到:(f∈例a,b)=>(fa) d.我们要证明阳区间[@b]上的可函数在任何闭区间0 dG[的限(升d是,可上的可积函数,设是区间[c 的一个分划给补充一些点使之战为区闻[6]的个分辦 P且P)≤(m,显然这总是可以办到的, 现在可以得到 ∑0(fe2<1(H)△x 其中Σ表示大于分划x的全部区间取和而Σ表示关于分划F 的全部区间取和 当λ(m~0时,根据P的构造方法也有A(P)→0,于是根 命题2,从上边的不等式得到:如〔c,b],则 、!(fa,6)=→(fo:tn) c嵩验证:如果」∈n则f所
如果f44剩在1上界,设在(l <0<∞,则 f-21:1) ,()-(a), 因此0(B<0(;E), 其中BC[小]这样, 04302m 从而根据拿題我们得到 (托死a,6)=∈8b], 现在来证一般情形,利用等式 9(=(99 并注意到贈证明的果和命题4的和b就得出: ∈69(,6)→>(5g∈2 向量空闻的概念是大家从代数教程中早已知道的,定义在一 个集合上的实值函数可以逐点相加以及与实数相乘且所得到的 結果仍然是定义在这个集合上的实值函如果操把函数看作向 贵那么可以验证实数域上向量空间的全部公理都成立,从而实 函数的上述集合关于函数的逐点加法以及与实数的乘法是一个向 量空间 命题4的b两点说明了可积函数相加以及与数相乘的结果 均不超出列.这样来,2本身也是一个向量空闻, 它是定义在区间[c上的实惶函数所构成的向量空间的子 d.函囊果曼可积性的勒贝格判别法最后,我们不加证明地 给出勒贝格定理它刻画了杂曼可积涵数的内冻术 15
为此我们引进以下概念,面它本身也是有用的 定文7称集合BCR(在勒贝格意义下)有零测度或票它是 个零测度集如果对于任何>,在集合約由最多可数个 开区间组成的覆盖,且达些区间的长度和】1小不超过 由于级数∑|4是绝对收敛的,求和的順序对结果没有影响 k (见第五意,§52的命题4)因此上面的定义是合理的, 引理2一个点或有限多个点的集合是测度集 b.有限多个或可数多个零测度集的并是零恻度集 c.零禵度集的子集本身也是零测度集 L.2<时,区间46不是安测度集 a.点可以用一个长度小于事允指定的任意小的>的开 区间覆盖因此点是零测度集,2的其余部分可由b推出 b投B=Uz是最多可数个零测度集四的并,对于每个 F关于心>,做的援盖ll<2 由于有限或可数集的有限或可数并本身最多是可數的,开这 间N所细成的E的覆盖最多也只能是可数的,而且 ∑≤,+示 =8 在】|中关于指标?和的求和顺序是无关紧要的,因为该级 数只要在集求和顺序下收于一个和那么它在任何求和顺序下 收敛于同一个和由于我们的级数的部分和以为上界,因此级 数在某-求和顺序下的收氦性是显然的 于是,B是风意下的零测度桌,;1 16
c这个断言显然可由零测度集的定义和量的定义直按 推出 d.由于闭区间的任一个由开区间作成的覆盖有有限覆盖,它 的开区间的长度和显然不超过原覆益的开区间的长度和因此, 只要证明组成区间[c]的任意一个有限覆盖的开区间的长度和 不小于这个区间的长度b-a即可 我们关于覆盖的开区间数进行归纳证明 当1=1,也就是区间[,被一个开区间(A包含的情 形,显然歌<b<月,从而B->b-a 假设对于=1,",h我们的断言正确P现在考察看盖是由 +1个开区间组成的情形,取开区间(,,它看点,如果 >b则-刷>b-从而证明了我们的断言如果a<a<b 则区间吗4就由最多k个区间所组成的开区间系所覆盖,根据 归纳假定它的区间长度的和不小于b-a,但是 0=(-2a)(2-0)<-)+(-a) 从而,区间[原来的覆盖所含开区间的长度和大于b-0, 有趣的是根据引理2的a和b,数辙R土的全部有理点的集 合Q是一个零测度集当与该引理的a比较,乍看,达似乎是 不可想象的 定义8在集合x上,如果除去零测度集合的点,某一性质都 成立则说该性质在集合上几乎处处成立或者说在集合的几 乎所有点有该性质, 现在来陈述勒贝格定理(判别法 定琨定义在闭区间[吗b上的函数当且仅当它在[吗可 上有界且几乎处连续时,它在该区间上黎曼可积,即 W AAMAAAAAA (a46])>(f在[上有界) A(f在]上儿乎处处莲线)